Решение задачи: Найти диагонали AC и BD параллелограмма ABCD

Решение задачи №4: Дано: Параллелограмм \(ABCD\). Стороны: \(AB = 4\), \(AD = 5\). Угол \(\angle A = 45^\circ\). Найти: диагонали \(AC\) и \(BD\). 1. Найдем диагональ \(BD\). Рассмотрим треугольник \(ABD\). В нем известны две стороны и угол между ними. По теореме косинусов: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 45^\circ\] Подставим значения (\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)): \[BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[BD^2 = 16 + 25 - 20\sqrt{2}\] \[BD^2 = 41 - 20\sqrt{2}\] \[BD = \sqrt{41 - 20\sqrt{2}}\] 2. Найдем диагональ \(AC\). Сначала найдем угол \(\angle B\). В параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\): \[\angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\] Рассмотрим треугольник \(ABC\). Сторона \(BC = AD = 5\). По теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 135^\circ\] Так как \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), формула примет вид: \[AC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\] \[AC^2 = 16 + 25 + 20\sqrt{2}\] \[AC^2 = 41 + 20\sqrt{2}\] \[AC = \sqrt{41 + 20\sqrt{2}}\] Ответы для заполнения: \(AC = \sqrt{41 + 20\sqrt{2}}\) \(BD = \sqrt{41 - 20\sqrt{2}}\)