Найти меньший угол треугольника: Решение

Решение задачи: Дано: Стороны треугольника \(a = \sqrt{5}\), \(b = \sqrt{8}\), \(c = 3\). Найти: меньший угол треугольника. 1. Определим, какая из сторон является наименьшей. Возведем значения сторон в квадрат для сравнения: \(a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\) \(b^2 = (\sqrt{8})^2 = 8\) \(c^2 = 3^2 = 9\) Так как \(5 < 8 < 9\), то наименьшая сторона — это \(a = \sqrt{5}\). 2. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Обозначим его \(\alpha\). Согласно теореме косинусов: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha\] 3. Выразим косинус угла \(\alpha\): \[\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\] 4. Подставим числовые значения: \[\cos \alpha = \frac{(\sqrt{8})^2 + 3^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{8} \cdot 3}\] \[\cos \alpha = \frac{8 + 9 - 5}{6\sqrt{8}}\] \[\cos \alpha = \frac{12}{6\sqrt{8}}\] \[\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{8}}\] 5. Упростим выражение, учитывая, что \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\): \[\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] 6. Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\] 7. Определим угол: Косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) для угла \(45^\circ\). Ответ: 45