Решение: Найти длину отрезка BD в равностороннем треугольнике

Решение задачи №1: Дано: Треугольник \(ABC\) — равносторонний. Сторона \(AB = BC = AC = 4\). Точка \(D\) лежит на стороне \(AC\) и делит её в отношении \(2:1\). Найти: длину отрезка \(BD\) (обозначен как \(a\)). 1. Найдем длины отрезков, на которые точка \(D\) делит сторону \(AC\). Всего частей: \(2 + 1 = 3\). Длина стороны \(AC = 4\). Отрезок \(AD = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\). Отрезок \(DC = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}\). 2. Рассмотрим треугольник \(BCD\). В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), следовательно, \(\angle C = 60^\circ\). Нам известны две стороны треугольника \(BCD\) и угол между ними: \(BC = 4\) \(DC = \frac{4}{3}\) \(\angle C = 60^\circ\) 3. Применим теорему косинусов для нахождения стороны \(a\) (отрезка \(BD\)): \[a^2 = BC^2 + DC^2 - 2 \cdot BC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ\] 4. Подставим значения (\(\cos 60^\circ = 0,5\)): \[a^2 = 4^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}\] \[a^2 = 16 + \frac{16}{9} - \frac{16}{3}\] 5. Приведем к общему знаменателю 9: \[a^2 = \frac{144}{9} + \frac{16}{9} - \frac{48}{9}\] \[a^2 = \frac{144 + 16 - 48}{9}\] \[a^2 = \frac{112}{9}\] 6. Извлечем корень: \[a = \sqrt{\frac{112}{9}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 7}}{3} = \frac{4\sqrt{7}}{3}\] Ответ: \(a = \frac{4\sqrt{7}}{3}\)