Решение задачи: Найти диагонали параллелограмма

Дано: Параллелограмм \(ABCD\) Стороны: \(AB = 5\), \(AD = 6\) Угол: \(\angle A = 30^\circ\) Найти: диагонали \(AC\) и \(BD\) Решение: 1. Найдем диагональ \(BD\). Рассмотрим треугольник \(ABD\). По теореме косинусов: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A\] Подставим значения: \[BD^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 30^\circ\] \[BD^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[BD^2 = 61 - 30\sqrt{3}\] \[BD = \sqrt{61 - 30\sqrt{3}}\] 2. Найдем диагональ \(AC\). Сначала найдем тупой угол параллелограмма \(\angle B\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): \[\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\] Рассмотрим треугольник \(ABC\). Сторона \(BC = AD = 6\). По теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\] \[AC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 150^\circ\] Так как \(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[AC^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\] \[AC^2 = 61 + 30\sqrt{3}\] \[AC = \sqrt{61 + 30\sqrt{3}}\] Ответ: \[AC = \sqrt{61 + 30\sqrt{3}}\] \[BD = \sqrt{61 - 30\sqrt{3}}\]