Решение задачи №3 по стереометрии: Параллельность плоскостей

Ниже представлено решение задач по стереометрии, оформленное для записи в тетрадь. Задача №3 Дано: \(M\) — середина \(AD\), \(K\) — середина \(BD\), \(P\) — середина \(CD\). Доказать: \((MKP) \parallel (ABC)\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Так как \(M\) — середина \(AD\), а \(K\) — середина \(BD\), то \(MK\) является средней линией треугольника \(ABD\). По свойству средней линии: \(MK \parallel AB\). 2. Рассмотрим треугольник \(BCD\). Так как \(K\) — середина \(BD\), а \(P\) — середина \(CD\), то \(KP\) является средней линией треугольника \(BCD\). По свойству средней линии: \(KP \parallel BC\). 3. Имеем: Прямые \(MK\) и \(KP\) пересекаются в точке \(K\) и лежат в плоскости \((MKP)\). Прямые \(AB\) и \(BC\) лежат в плоскости \((ABC)\). Так как \(MK \parallel AB\) и \(KP \parallel BC\), то по признаку параллельности плоскостей (если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны): \((MKP) \parallel (ABC)\). Что и требовалось доказать. Задача №4 Дано: \(L\) — середина \(DB\), \(H\) — середина \(AB\), \(F\) — середина \(BC\). Доказать: \((LHF) \parallel (ADC)\). Доказательство: 1. В треугольнике \(ABD\) отрезок \(LH\) является средней линией (соединяет середины сторон \(DB\) и \(AB\)). Следовательно, \(LH \parallel AD\). 2. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(HF\) является средней линией (соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\)). Следовательно, \(HF \parallel AC\). 3. Прямые \(LH\) и \(HF\) пересекаются в точке \(H\) плоскости \((LHF)\). Они параллельны прямым \(AD\) и \(AC\) плоскости \((ADC)\) соответственно. По признаку параллельности плоскостей: \((LHF) \parallel (ADC)\). Что и требовалось доказать. Задача №5 Дано: \(Q\) — середина \(AB\), \(M\) — середина \(AC\), \(E\) — середина \(AD\). Доказать: \((QME) \parallel (BCD)\). Доказательство: 1. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(QM\) — средняя линия, значит \(QM \parallel BC\). 2. В треугольнике \(ACD\) отрезок \(ME\) — средняя линия, значит \(ME \parallel CD\). 3. Пересекающиеся прямые \(QM\) и \(ME\) плоскости \((QME)\) параллельны прямым \(BC\) и \(CD\) плоскости \((BCD)\). Следовательно, по признаку параллельности плоскостей: \((QME) \parallel (BCD)\). Что и требовалось доказать.