а) Решите уравнение: \( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x - 1 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [3\pi; 4\pi] \).
Решение:
а) Преобразуем левую часть уравнения. Используем формулу синуса суммы: \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \).
\[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) \] Так как \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем: \[ \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) = \sin x + \cos x \] Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:
\[ \sin x + \cos x + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x - 1 \] Вычтем \( \sin x \) из обеих частей уравнения:
\[ \cos x + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} = -1 \] Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 \).
\[ 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} = -1 \] Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
\[ 2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} = 0 \] Вынесем \( \cos \frac{x}{2} \) за скобки:
\[ \cos \frac{x}{2} \left( 2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{2} \right) = 0 \] Это уравнение распадается на два случая:
Случай 1: \( \cos \frac{x}{2} = 0 \)
\[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Случай 2: \( 2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{2} = 0 \)
\[ 2 \cos \frac{x}{2} = -\sqrt{2} \] \[ \cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \frac{x}{2} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ответ к пункту а): \( x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \) и \( x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [3\pi; 4\pi] \).
Рассмотрим первый набор решений: \( x = \pi + 2\pi n \).
Если \( n=0 \), \( x = \pi \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \).
Если \( n=1 \), \( x = \pi + 2\pi = 3\pi \). Принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \).
Если \( n=2 \), \( x = \pi + 4\pi = 5\pi \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \).
Рассмотрим второй набор решений: \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \).
Если \( k=0 \), \( x = \frac{3\pi}{2} \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \).
Если \( k=1 \), \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{3\pi + 8\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \), так как \( \frac{11\pi}{2} = 5.5\pi \).
Рассмотрим третий набор решений: \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \).
Если \( k=0 \), \( x = -\frac{3\pi}{2} \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \).
Если \( k=1 \), \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{-3\pi + 8\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \).
Если \( k=2 \), \( x = -\frac{3\pi}{2} + 8\pi = \frac{-3\pi + 16\pi}{2} = \frac{13\pi}{2} \). Не принадлежит \( [3\pi; 4\pi] \), так как \( \frac{13\pi}{2} = 6.5\pi \).
Давайте перепроверим интервал \( [3\pi; 4\pi] \).
Для \( x = \pi + 2\pi n \):
\[ 3\pi \le \pi + 2\pi n \le 4\pi \] \[ 2\pi \le 2\pi n \le 3\pi \] \[ 1 \le n \le \frac{3}{2} \] Единственное целое значение \( n \) - это \( n=1 \). При \( n=1 \), \( x = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi \).
Для \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \):
\[ 3\pi \le \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \le 4\pi \] Разделим все на \( \pi \): \[ 3 \le \frac{3}{2} + 4k \le 4 \] Вычтем \( \frac{3}{2} \) из всех частей: \[ 3 - \frac{3}{2} \le 4k \le 4 - \frac{3}{2} \] \[ \frac{6-3}{2} \le 4k \le \frac{8-3}{2} \] \[ \frac{3}{2} \le 4k \le \frac{5}{2} \] Разделим все на 4: \[ \frac{3}{8} \le k \le \frac{5}{8} \] В этом интервале нет целых значений \( k \).
Для \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \):
\[ 3\pi \le -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \le 4\pi \] Разделим все на \( \pi \): \[ 3 \le -\frac{3}{2} + 4k \le 4 \] Прибавим \( \frac{3}{2} \) ко всем частям: \[ 3 + \frac{3}{2} \le 4k \le 4 + \frac{3}{2} \] \[ \frac{6+3}{2} \le 4k \le \frac{8+3}{2} \] \[ \frac{9}{2} \le 4k \le \frac{11}{2} \] Разделим все на 4: \[ \frac{9}{8} \le k \le \frac{11}{8} \] \[ 1.125 \le k \le 1.375 \] В этом интервале нет целых значений \( k \).
Похоже, я допустил ошибку в проверке \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \) и \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \). Давайте еще раз внимательно проверим.
Для \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \):
\[ 3\pi \le \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \le 4\pi \] Разделим на \( \pi \): \[ 3 \le \frac{3}{2} + 4k \le 4 \] \[ 3 - \frac{3}{2} \le 4k \le 4 - \frac{3}{2} \] \[ \frac{3}{2} \le 4k \le \frac{5}{2} \] \[ \frac{3}{8} \le k \le \frac{5}{8} \] Нет целых \( k \).
Для \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \):
\[ 3\pi \le -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \le 4\pi \] Разделим на \( \pi \): \[ 3 \le -\frac{3}{2} + 4k \le 4 \] \[ 3 + \frac{3}{2} \le 4k \le 4 + \frac{3}{2} \] \[ \frac{9}{2} \le 4k \le \frac{11}{2} \] \[ \frac{9}{8} \le k \le \frac{11}{8} \] \[ 1.125 \le k \le 1.375 \] Нет целых \( k \).
Возможно, я ошибся в вычислениях или в интерпретации. Давайте еще раз проверим корни.
Корни: 1. \( x = \pi + 2\pi n \) 2. \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \) 3. \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \)
Отрезок \( [3\pi; 4\pi] \).
Для \( x = \pi + 2\pi n \): При \( n=1 \), \( x = \pi + 2\pi = 3\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
Для \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \): При \( k=0 \), \( x = \frac{3\pi}{2} = 1.5\pi \). Не принадлежит. При \( k=1 \), \( x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{3\pi + 8\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} = 5.5\pi \). Не принадлежит.
Для \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k \): При \( k=0 \), \( x = -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi \). Не принадлежит. При \( k=1 \), \( x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{-3\pi + 8\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \). Не принадлежит. При \( k=2 \), \( x = -\frac{3\pi}{2} + 8\pi = \frac{-3\pi + 16\pi}{2} = \frac{13\pi}{2} = 6.5\pi \). Не принадлежит.
Похоже, единственный корень, принадлежащий отрезку \( [3\pi; 4\pi] \), это \( 3\pi \).
Ответ к пункту б): \( 3\pi \).
Окончательный ответ:
а) \( x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \) и \( x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
б) \( 3\pi \).