Решение задач по геометрии для школьной тетради

Ниже представлено решение задач с доски в оформлении, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача №1 Дано: \( \triangle ABC \) \( AC = 7 \) \( BC = 5 \) \( BD \) — высота (исходя из чертежа, где \( D \) лежит на \( AC \)) \( DC = 3 \) Найти: \( S_{\triangle ABC} \) Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDC \) (так как \( BD \perp AC \)). По теореме Пифагора найдем высоту \( BD \): \[ BD^2 + DC^2 = BC^2 \] \[ BD^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ BD^2 + 9 = 25 \] \[ BD^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ BD = \sqrt{16} = 4 \] 2. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \( a = AC = 7 \), а \( h = BD = 4 \). \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 = 14 \] Ответ: 14. Задача №2 Дано: \( ABCD \) — равнобедренная трапеция (\( AB = CD \)) \( AD = 14 \) (нижнее основание) \( AE = 3 \) \( BH = 10 \) (диагональ) \( BE \perp AD \), \( CH \perp AD \) — высоты Найти: \( S_{ABCD} \) Решение: 1. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин верхнего основания на нижнее, отсекают равные отрезки: \( AE = HD = 3 \). 2. Найдем длину отрезка \( EH \): \[ EH = AD - AE - HD = 14 - 3 - 3 = 8 \] Так как \( EBCH \) — прямоугольник, то верхнее основание \( BC = EH = 8 \). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BEH \). По теореме Пифагора найдем высоту трапеции \( BE \): \[ BE^2 + EH^2 = BH^2 \] \[ BE^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ BE^2 + 64 = 100 \] \[ BE^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ BE = \sqrt{36} = 6 \] 4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BE \] \[ S_{ABCD} = \frac{8 + 14}{2} \cdot 6 = \frac{22}{2} \cdot 6 = 11 \cdot 6 = 66 \] Ответ: 66.