Решение: Тренажёр № 1. Найти общий вид первообразных

Тренажёр № 1 Найти общий вид первообразных для функции. Для решения используем таблицу первообразных и правила интегрирования: \[ F(x) = \int f(x) dx \] \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] \[ \int k dx = kx + C \] 1. \( y = x - 3 \) \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 3x + C \] 2. \( y = 2x + 4 \) \[ F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C \] 3. \( y = 4x - 5 \) \[ F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = 2x^2 - 5x + C \] 4. \( y = 1 + 3x^2 \) \[ F(x) = x + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x + x^3 + C \] 5. \( y = 8 - 6x^2 \) \[ F(x) = 8x - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 8x - 2x^3 + C \] 6. \( y = x + 9x^2 \) \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{2} + 3x^3 + C \] 7. \( y = 1 - 4x + 15x^2 \) \[ F(x) = x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 15 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x - 2x^2 + 5x^3 + C \] 8. \( y = 4x^3 + 12x^2 - 8x \) \[ F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^4 + 4x^3 - 4x^2 + C \] 9. \( y = 0,5x + 2 - 0,2x^4 \) \[ F(x) = 0,5 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x - 0,2 \cdot \frac{x^5}{5} + C = 0,25x^2 + 2x - 0,04x^5 + C \] 10. \( y = 10x^4 + 30x^2 - 24x^5 \) \[ F(x) = 10 \cdot \frac{x^5}{5} + 30 \cdot \frac{x^3}{3} - 24 \cdot \frac{x^6}{6} + C = 2x^5 + 10x^3 - 4x^6 + C \] Тренажёр № 2 Найти общий вид первообразных для функции. Используем формулу для сложной функции: \( \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \) 1. \( y = (x - 1)^2 \) \[ F(x) = \frac{(x - 1)^3}{3} + C \] 2. \( y = 9(x + 6)^2 \) \[ F(x) = 9 \cdot \frac{(x + 6)^3}{3} + C = 3(x + 6)^3 + C \] 3. \( y = 6(2x - 5)^2 \) \[ F(x) = 6 \cdot \frac{(2x - 5)^3}{2 \cdot 3} + C = (2x - 5)^3 + C \] 4. \( y = 9(7 + 3x)^3 \) \[ F(x) = 9 \cdot \frac{(7 + 3x)^4}{3 \cdot 4} + C = \frac{3(7 + 3x)^4}{4} + C = 0,75(7 + 3x)^4 + C \] 5. \( y = -36(5 - 6x)^3 \) \[ F(x) = -36 \cdot \frac{(5 - 6x)^4}{-6 \cdot 4} + C = \frac{-36}{-24}(5 - 6x)^4 + C = 1,5(5 - 6x)^4 + C \] 6. \( y = 27(2 + 9x)^2 \) \[ F(x) = 27 \cdot \frac{(2 + 9x)^3}{9 \cdot 3} + C = (2 + 9x)^3 + C \] 7. \( y = 0,2(1 - 4x)^2 \) \[ F(x) = 0,2 \cdot \frac{(1 - 4x)^3}{-4 \cdot 3} + C = \frac{0,2}{-12}(1 - 4x)^3 + C = -\frac{1}{60}(1 - 4x)^3 + C \] 8. \( y = 60(1 + 12x)^4 - 8x \) \[ F(x) = 60 \cdot \frac{(1 + 12x)^5}{12 \cdot 5} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C = (1 + 12x)^5 - 4x^2 + C \] 9. \( y = 8x + 48(2 - x)^{15} \) \[ F(x) = 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 48 \cdot \frac{(2 - x)^{16}}{-1 \cdot 16} + C = 4x^2 - 3(2 - x)^{16} + C \] 10. \( y = -12(100 - 2x)^5 \) \[ F(x) = -12 \cdot \frac{(100 - 2x)^6}{-2 \cdot 6} + C = \frac{-12}{-12}(100 - 2x)^6 + C = (100 - 2x)^6 + C \]