Решение задачи по теме 'Треугольники'

Контрольная работа по теме "Треугольники" №1. На рисунке отмечено, что \( AC = BC \), значит треугольник \( ABC \) — равнобедренный. Отрезок \( CK \) является высотой (так как \( CK \perp AB \)). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно: б) \( CK \) — медиана (верно); в) \( \angle A = \angle B \) (верно, углы при основании равнобедренного треугольника равны). Утверждение (а) не обязательно верно, так как нет данных о равенстве всех трех сторон. Ответ: б, в. №2. Дано: \( \triangle OPR \), \( \angle P = 90^\circ \), \( \angle R = 60^\circ \), \( PR = 3 \) см. Найти: \( \angle O \), \( OR \). Решение: 1) Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \( \angle O = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ \). 2) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. Катет \( PR \) лежит против \( \angle O = 30^\circ \). Значит, \( PR = \frac{1}{2} OR \). Отсюда \( OR = 2 \cdot PR = 2 \cdot 3 = 6 \) см. Ответ: \( \angle O = 30^\circ \), \( OR = 6 \) см. №3. Дано: \( \triangle CML \), \( CM = ML \), \( ME \) — медиана, \( \angle CML = 58^\circ \). Найти: \( \angle C \). Решение: Так как \( CM = ML \), треугольник \( CML \) — равнобедренный с основанием \( CL \). Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle C = \angle L \). Сумма углов треугольника: \( \angle C + \angle L + \angle CML = 180^\circ \). \( 2 \cdot \angle C + 58^\circ = 180^\circ \). \( 2 \cdot \angle C = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \). \( \angle C = 122^\circ : 2 = 61^\circ \). Ответ: \( 61^\circ \). №4. Дано: \( P = 30 \) см. Пусть боковая сторона равна \( x \) см, тогда основание равно \( (x - 6) \) см. Решение: Периметр равнобедренного треугольника: \( P = 2 \cdot \text{боковая сторона} + \text{основание} \). \[ 2x + (x - 6) = 30 \] \[ 3x - 6 = 30 \] \[ 3x = 36 \] \[ x = 12 \] Боковые стороны равны по \( 12 \) см. Основание: \( 12 - 6 = 6 \) см. Ответ: 12 см, 12 см, 6 см. №5. Дано: \( \angle 1 = \angle 2 \), \( BC = AC \). 1. Доказать: \( \triangle ADC = \triangle BCD \). Доказательство: Рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle BCD \): - \( AC = BC \) (по условию); - \( \angle 1 = \angle 2 \) (по условию); - Сторона \( CD \) — общая. Следовательно, \( \triangle ADC = \triangle BCD \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. 2. Найти \( \angle BCA \), если \( \angle BCD = 40^\circ \). Решение: Так как \( \triangle ADC = \triangle BCD \), то соответствующие углы равны: \( \angle ACD = \angle BCD = 40^\circ \). Угол \( \angle BCA = \angle ACD + \angle BCD = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \). Ответ: \( 80^\circ \). №6. Инструкция для тетради: А) Остроугольный: Начертите треугольник, похожий на равносторонний. Отметьте боковые стороны черточками, а углы при основании дугами. Угол вверху сделайте, например, \( 40^\circ \). Б) Прямоугольный: Начертите "угольник" с равными катетами. Угол против основания — \( 90^\circ \). Углы при основании будут по \( 45^\circ \). В) Тупоугольный: Начертите широкий треугольник. Угол против основания сделайте больше \( 90^\circ \) (например, \( 120^\circ \)). Боковые стороны сделайте короткими, а основание длинным. Отметьте равенство сторон и углов.