1. Единицей силы упругости является:
а) м;
б) Дж;
в) В;
г) Вт;
д) Н.
Решение:
Сила упругости, как и любая другая сила, измеряется в Ньютонах (Н).
Ответ: д) Н.
2. При деформации происходит изменение...
а) формы тела;
б) массы тела;
в) объёма тела;
г) электрического заряда;
д) размеров тела;
Решение:
Деформация - это изменение формы и/или размеров тела под действием внешних сил.
Ответ: а) формы тела; д) размеров тела.
3. Закон Гука выполняется только при...
а) деформациях сдвига;
б) деформациях сжатия;
в) деформациях растяжения;
г) пластичных деформациях;
д) упругих деформациях.
Решение:
Закон Гука описывает упругие деформации, то есть те, которые исчезают после снятия нагрузки. Он применим для деформаций растяжения, сжатия и сдвига, но только в пределах упругости.
Ответ: а) деформациях сдвига; б) деформациях сжатия; в) деформациях растяжения; д) упругих деформациях.
4. Пружина с коэффициентом жёсткости \(k = 200 \frac{Н}{м}\) под действием силы \(F\) удлинилась на \(\Delta x = 50\) см. Модуль силы упругости \(F_{упр}\), возникающей в пружине, равен:
а) 100 Н;
б) 200 Н;
в) 1000 Н;
г) 50 Н;
д) 5 Н.
Решение:
Закон Гука гласит, что сила упругости прямо пропорциональна удлинению пружины:
\[F_{упр} = k \cdot \Delta x\]Дано:
\(k = 200 \frac{Н}{м}\)
\(\Delta x = 50\) см \( = 0,5\) м
Подставим значения:
\[F_{упр} = 200 \frac{Н}{м} \cdot 0,5 м = 100 Н\]Ответ: а) 100 Н.
5. На безмене (пружинных весах) взвешивают тыкву массой \(m = 3,0\) кг. Определи модуль силы упругости \(F_{упр}\) возникающей в пружине.
Решение:
Сила упругости, возникающая в пружине безмена, уравновешивает силу тяжести, действующую на тыкву.
\[F_{упр} = F_{тяж} = m \cdot g\]Примем ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}\) (или \(10 \frac{м}{с^2}\) для упрощения расчетов, если не указано иное. В школьных задачах часто используют \(10 \frac{м}{с^2}\)). Давайте используем \(10 \frac{м}{с^2}\).
Дано:
\(m = 3,0\) кг
\(g = 10 \frac{м}{с^2}\)
Подставим значения:
\[F_{упр} = 3,0 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 30 \text{ Н}\]Ответ: 30 Н.
6. На рис. 1 представлен график зависимости \(F(x)\) модуля силы упругости пружины от её абсолютного удлинения. Определите коэффициент жёсткости пружины \(k\).
Решение:
Из закона Гука \(F = k \cdot x\), где \(x\) - удлинение. Коэффициент жёсткости \(k\) можно найти как отношение силы к удлинению:
\[k = \frac{F}{x}\]По графику (рис. 1) выберем любую точку, например, когда \(x = 2,0\) см, \(F = 2,0\) Н.
Переведем удлинение в метры:
\(x = 2,0\) см \( = 0,02\) м
Теперь рассчитаем \(k\):
\[k = \frac{2,0 \text{ Н}}{0,02 \text{ м}} = 100 \frac{Н}{м}\]Ответ: \(100 \frac{Н}{м}\).
7. Тело массой \(m = 1,0\) кг тянут равноускоренно по гладкой горизонтальной поверхности с помощью лёгкой пружины, коэффициент жёсткости которой \(k = 20 \frac{Н}{м}\). График зависимости модуля скорости от времени движения тела \(v(t)\) показан на рис. 2. Определите удлинение пружины \(\Delta x\), если сила тяги направлена горизонтально.
Решение:
Сначала найдем ускорение тела по графику \(v(t)\) (рис. 2). График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Ускорение \(a\) - это тангенс угла наклона этой прямой, или изменение скорости за единицу времени.
Возьмем точку на графике, например, при \(t = 20\) с, скорость \(v = 60 \frac{м}{с}\).
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{60 \frac{м}{с}}{20 \text{ с}} = 3 \frac{м}{с^2}\]По второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы на ускорение:
\[F = m \cdot a\]Дано:
\(m = 1,0\) кг
\(a = 3 \frac{м}{с^2}\)
Рассчитаем силу:
\[F = 1,0 \text{ кг} \cdot 3 \frac{м}{с^2} = 3 \text{ Н}\]Эта сила \(F\) является силой упругости пружины. По закону Гука:
\[F = k \cdot \Delta x\]Отсюда найдем удлинение пружины \(\Delta x\):
\[\Delta x = \frac{F}{k}\]Дано:
\(F = 3\) Н
\(k = 20 \frac{Н}{м}\)
Рассчитаем \(\Delta x\):
\[\Delta x = \frac{3 \text{ Н}}{20 \frac{Н}{м}} = 0,15 \text{ м}\]Переведем в сантиметры:
\(\Delta x = 0,15 \text{ м} \cdot 100 \frac{см}{м} = 15 \text{ см}\)
Ответ: 15 см.
8. В лифте, поднимающемся с постоянным ускорением, модуль которого \(a = 1,0 \frac{м}{с^2}\), на лёгкой пружине с коэффициентом жёсткости \(k = 150 \frac{Н}{м}\) висит груз. Определите массу \(m\) груза, если удлинение пружины \(\Delta x = 22\) мм.
Решение:
Когда лифт поднимается с ускорением, на груз действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила упругости пружины, направленная вверх. Результирующая сила сообщает грузу ускорение, направленное вверх.
По второму закону Ньютона:
\[F_{упр} - F_{тяж} = m \cdot a\]Где \(F_{упр} = k \cdot \Delta x\) и \(F_{тяж} = m \cdot g\).
Подставим эти выражения в уравнение:
\[k \cdot \Delta x - m \cdot g = m \cdot a\]Нам нужно найти массу \(m\). Вынесем \(m\) за скобки:
\[k \cdot \Delta x = m \cdot (g + a)\] \[m = \frac{k \cdot \Delta x}{g + a}\]Дано:
\(k = 150 \frac{Н}{м}\)
\(\Delta x = 22\) мм \( = 0,022\) м
\(a = 1,0 \frac{м}{с^2}\)
\(g \approx 10 \frac{м}{с^2}\)
Подставим значения:
\[m = \frac{150 \frac{Н}{м} \cdot 0,022 \text{ м}}{10 \frac{м}{с^2} + 1,0 \frac{м}{с^2}} = \frac{3,3 \text{ Н}}{11 \frac{м}{с^2}} = 0,3 \text{ кг}\]Переведем в граммы:
\(m = 0,3 \text{ кг} \cdot 1000 \frac{г}{кг} = 300 \text{ г}\)
Ответ: 300 г.
9. Груз массой \(m = 300\) г, подвешенный к пружине, растягивает её на \(\Delta x_1 = 30\) мм. Определите удлинение пружины \(\Delta x_2\) при её движении вертикально вверх с ускорением, модуль которого \(a = 2,0 \frac{м}{с^2}\).
Решение:
Сначала найдем коэффициент жёсткости пружины \(k\). Когда груз просто висит, сила упругости равна силе тяжести:
\[F_{упр1} = F_{тяж} = m \cdot g\] \[k \cdot \Delta x_1 = m \cdot g\] \[k = \frac{m \cdot g}{\Delta x_1}\]Дано:
\(m = 300\) г \( = 0,3\) кг
\(\Delta x_1 = 30\) мм \( = 0,03\) м
\(g \approx 10 \frac{м}{с^2}\)
Рассчитаем \(k\):
\[k = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2}}{0,03 \text{ м}} = \frac{3 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}} = 100 \frac{Н}{м}\]Теперь рассмотрим случай, когда груз движется вертикально вверх с ускорением \(a\). Как и в предыдущей задаче, по второму закону Ньютона:
\[F_{упр2} - F_{тяж} = m \cdot a\] \[k \cdot \Delta x_2 - m \cdot g = m \cdot a\]Нам нужно найти \(\Delta x_2\):
\[k \cdot \Delta x_2 = m \cdot g + m \cdot a\] \[k \cdot \Delta x_2 = m \cdot (g + a)\] \[\Delta x_2 = \frac{m \cdot (g + a)}{k}\]Дано:
\(m = 0,3\) кг
\(g = 10 \frac{м}{с^2}\)
\(a = 2,0 \frac{м}{с^2}\)
\(k = 100 \frac{Н}{м}\)
Подставим значения:
\[\Delta x_2 = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot (10 \frac{м}{с^2} + 2,0 \frac{м}{с^2})}{100 \frac{Н}{м}} = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot 12 \frac{м}{с^2}}{100 \frac{Н}{м}} = \frac{3,6 \text{ Н}}{100 \frac{Н}{м}} = 0,036 \text{ м}\]Переведем в миллиметры:
\(\Delta x_2 = 0,036 \text{ м} \cdot 1000 \frac{мм}{м} = 36 \text{ мм}\)
Ответ: 36 мм.
10. Шарик массой \(m = 0,50\) кг, подвешенный на упругом лёгком шнуре с коэффициентом жёсткости \(k = 100 \frac{Н}{м}\), равномерно движется по окружности так, что шнур описывает коническую поверхность, образуя угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью. Определите угловую скорость \(\omega\) вращения шарика, если длина шнура в недеформированном состоянии \(l_0 = 70\) см.
Решение:
На шарик действуют две силы: сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), направленная вертикально вниз, и сила упругости шнура \(F_{упр} = k \cdot \Delta l\), направленная вдоль шнура. Здесь \(\Delta l\) - удлинение шнура.
Разложим силу упругости на две составляющие: вертикальную \(F_{упр,y}\) и горизонтальную \(F_{упр,x}\).
Вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести:
\[F_{упр,y} = F_{упр} \cdot \cos \alpha = m \cdot g\]Горизонтальная составляющая создает центростремительную силу, которая удерживает шарик на окружности:
\[F_{упр,x} = F_{упр} \cdot \sin \alpha = m \cdot a_ц = m \cdot \omega^2 \cdot R\]Где \(R\) - радиус окружности, по которой движется шарик. Радиус \(R\) связан с длиной шнура \(l\) и углом \(\alpha\):
\[R = l \cdot \sin \alpha\]Длина шнура \(l\) в деформированном состоянии равна \(l = l_0 + \Delta l\).
Из первого уравнения выразим \(F_{упр}\):
\[F_{упр} = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha}\]Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[\frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = m \cdot \omega^2 \cdot R\] \[m \cdot g \cdot \tan \alpha = m \cdot \omega^2 \cdot R\]Сократим \(m\):
\[g \cdot \tan \alpha = \omega^2 \cdot R\]Подставим \(R = l \cdot \sin \alpha\):
\[g \cdot \tan \alpha = \omega