Задача 893: Объем треугольной призмы

Задача №893 Дано: Треугольная призма. \(S_{гр} = m^2\) — площадь боковой грани. \(h = 2a\) — расстояние от противолежащего ребра до плоскости этой грани. Найти: \(V\) — объем призмы. Решение: 1. Рассмотрим треугольную призму. Пусть \(l\) — длина бокового ребра призмы. Если призма наклонная, то \(l\) — это длина ребра, а если прямая — то её высота. 2. Площадь боковой грани, которая является параллелограммом, вычисляется по формуле: \[S_{гр} = a_{осн} \cdot H_{гр}\] где \(a_{осн}\) — сторона основания, принадлежащая этой грани, а \(H_{гр}\) — высота этого параллелограмма. Однако удобнее рассмотреть объем через сечение. 3. Объем любой призмы можно вычислить как произведение площади её основания на высоту. Но также существует формула объема через площадь боковой грани и расстояние от этой грани до противоположного ребра: \[V = \frac{1}{2} \cdot S_{гр} \cdot h\] где \(S_{гр}\) — площадь грани, а \(h\) — расстояние от прямой, содержащей противоположное ребро, до плоскости этой грани. 4. Данная формула вытекает из того, что призму можно рассматривать как совокупность слоев, где площадь сечения, параллельного данной грани, остается неизменной, если смотреть на нее под определенным углом, или же путем достраивания призмы до параллелепипеда. В школьном курсе геометрии объем треугольной призмы равен половине объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах. 5. Подставим известные значения в формулу: \[V = \frac{1}{2} \cdot m^2 \cdot 2a\] 6. Произведем сокращение: \[V = m^2 \cdot a\] Ответ: \(V = am^2\).