Решение задачи: Вычисление выражений с корнями и дробями

Вариант 1 Задание 1. Вычислите: а) \( 8\sqrt{\frac{1}{4}} + 5\sqrt{1,44} = 8 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot 1,2 = 4 + 6 = 10 \) б) \( 15 - 3\sqrt{\frac{1}{81}} = 15 - 3 \cdot \frac{1}{9} = 15 - \frac{1}{3} = 14\frac{2}{3} \) в) \( (2\sqrt{3,5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3,5})^2 = 4 \cdot 3,5 = 14 \) Задание 2. Выполните действие: а) \( \frac{2a-1}{3a} + \frac{a+2}{6a} = \frac{2(2a-1) + (a+2)}{6a} = \frac{4a - 2 + a + 2}{6a} = \frac{5a}{6a} = \frac{5}{6} \) б) \( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{(x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x + 3 - x + 3}{x^2 - 9} = \frac{6}{x^2 - 9} \) Задание 3. Упростите выражение и найдите его значение: \( 4b + \frac{3a - 20b^2}{5b} = \frac{4b \cdot 5b + 3a - 20b^2}{5b} = \frac{20b^2 + 3a - 20b^2}{5b} = \frac{3a}{5b} \) Подставим \( a = 7, b = -0,2 \): \( \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot (-0,2)} = \frac{21}{-1} = -21 \) Задание 4. Упростите выражение: \( 1 - \frac{3x-1}{9x^2+6x+1} - \frac{3x}{3x+1} = 1 - \frac{3x-1}{(3x+1)^2} - \frac{3x}{3x+1} = \frac{(3x+1)^2 - (3x-1) - 3x(3x+1)}{(3x+1)^2} = \) \( = \frac{9x^2 + 6x + 1 - 3x + 1 - 9x^2 - 3x}{(3x+1)^2} = \frac{2}{(3x+1)^2} \) Задание 5. Решите уравнение: а) \( x^2 = 36 \) \( x_1 = 6, x_2 = -6 \) б) \( x^2 = 17 \) \( x_1 = \sqrt{17}, x_2 = -\sqrt{17} \) в) \( \sqrt{x^2} = 8 \) \( |x| = 8 \) \( x_1 = 8, x_2 = -8 \) Задание 6. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение: \( \frac{-5}{\sqrt{x} - 3} \) Выражение имеет смысл, если: 1) Подкоренное выражение неотрицательно: \( x \ge 0 \) 2) Знаменатель не равен нулю: \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 3 \Rightarrow x \neq 9 \) Ответ: \( x \in [0; 9) \cup (9; +\infty) \)