Решение задачи №930: Объем тела вращения треугольника

Задача №930 Дано: \(\triangle ABC\), \(AC = b\), \(AB = c\), \(\angle BAC = \alpha\). Ось \(l\) проходит через точку \(A\) вне треугольника. Углы между \(l\) и \(AC\), \(l\) и \(AB\) равны. Найти: \(V\) — объем тела вращения. Решение: 1. Пусть \(\beta\) — угол между осью \(l\) и сторонами \(AB\) и \(AC\). Так как ось проходит вне треугольника и образует равные углы со сторонами, она является внешней биссектрисой угла \(\alpha\). Тогда угол между осью и биссектрисой угла \(A\) равен \(90^\circ\). Следовательно: \[\beta = \frac{\alpha}{2}\] (так как ось симметрична относительно сторон угла). 2. Объем тела вращения треугольника вокруг оси, проходящей через его вершину, можно найти как разность или сумму объемов конусов. Но удобнее воспользоваться теоремой Гульдина: объем тела вращения равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной её центроидом. Однако для школьной программы проще использовать формулу: \[V = \frac{2}{3} \pi (h_c \cdot S_{AB} + h_b \cdot S_{AC})\] где \(h\) — расстояния от вершин до оси. 3. Найдем расстояния от точек \(B\) и \(C\) до оси \(l\): \[R_B = c \cdot \sin(\beta) = c \cdot \sin\frac{\alpha}{2}\] \[R_C = b \cdot \sin(\beta) = b \cdot \sin\frac{\alpha}{2}\] 4. Объем тела вращения треугольника \(ABC\) вокруг оси, проходящей через вершину \(A\), вычисляется по формуле: \[V = |V_{AB} - V_{AC}|\] (если проекции лежат по одну сторону) или через сумму проекций. В общем виде для треугольника с вершиной на оси: \[V = \frac{2}{3} \pi \cdot S_{ABC} \cdot R_{cp}\] где \(R_{cp}\) — сумма расстояний от двух других вершин до оси. Площадь треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} bc \sin \alpha\] 5. Используем стандартную формулу для объема тела вращения треугольника вокруг оси, проходящей через вершину: \[V = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} bc \sin \alpha \cdot (R_B + R_C)\] Подставим значения \(R_B\) и \(R_C\): \[V = \frac{1}{3} \pi bc \sin \alpha \cdot (c \sin\frac{\alpha}{2} + b \sin\frac{\alpha}{2})\] \[V = \frac{1}{3} \pi bc (b + c) \sin \alpha \sin\frac{\alpha}{2}\] 6. Используем формулу двойного угла \(\sin \alpha = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}\): \[V = \frac{1}{3} \pi bc (b + c) \cdot 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\frac{\alpha}{2}\] \[V = \frac{2}{3} \pi bc (b + c) \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}\] Ответ: \(V = \frac{2}{3} \pi bc (b + c) \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}\).