Решение уравнения: 8cos(x)cos(π/3-x)cos(π/3+x)+1=0

Решим первое уравнение с доски. Оно содержит тригонометрические функции и формулы приведения. Уравнение 1: \[ 8 \cos x \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + 1 = 0 \] Решение: 1. Воспользуемся формулой произведения косинусов: \[ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) \] Применим её для второй и третьей скобки, где \( \alpha = \frac{\pi}{3} - x \) и \( \beta = \frac{\pi}{3} + x \): \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) + \cos \left( \left( \frac{\pi}{3} - x \right) + \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos(-2x) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) \] 2. Так как \( \cos(-2x) = \cos 2x \) и \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), подставим это в выражение: \[ \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \frac{1}{2} \right) \] 3. Подставим полученный результат обратно в исходное уравнение: \[ 8 \cos x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \frac{1}{2} \right) + 1 = 0 \] \[ 4 \cos x \left( \cos 2x - \frac{1}{2} \right) + 1 = 0 \] \[ 4 \cos x \cdot \cos 2x - 2 \cos x + 1 = 0 \] 4. Снова применим формулу произведения косинусов для \( \cos x \cdot \cos 2x \): \[ 4 \cdot \frac{1}{2} (\cos(x - 2x) + \cos(x + 2x)) - 2 \cos x + 1 = 0 \] \[ 2 (\cos(-x) + \cos 3x) - 2 \cos x + 1 = 0 \] \[ 2 \cos x + 2 \cos 3x - 2 \cos x + 1 = 0 \] 5. Слагаемые \( 2 \cos x \) и \( -2 \cos x \) взаимно уничтожаются: \[ 2 \cos 3x + 1 = 0 \] \[ 2 \cos 3x = -1 \] \[ \cos 3x = -\frac{1}{2} \] 6. Решим простейшее тригонометрическое уравнение: \[ 3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 7. Разделим обе части на 3, чтобы найти \( x \): \[ x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \[ x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]