Найти дифференциал функции y = x² arctg(1/x). Вариант 14

Вариант 14 Задание 1. Найти дифференциал функции \( y = x^2 \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} \). Решение: Дифференциал функции находится по формуле \( dy = y' dx \). Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (x^2)' \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} + x^2 \cdot \left( \text{arctg} \frac{1}{x} \right)' \] \[ y' = 2x \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} + x^2 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' \] \[ y' = 2x \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} + x^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \] \[ y' = 2x \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x^2 \cdot (1 + \frac{1}{x^2})} = 2x \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x^2 + 1} \] Запишем дифференциал: \[ dy = \left( 2x \cdot \text{arctg} \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x^2 + 1} \right) dx \] Задание 2. Найти интегралы. а) \( \int \cos(x^2 + 1) x dx \) Решение: Используем метод замены переменной. Пусть \( t = x^2 + 1 \), тогда \( dt = 2x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{2} dt \). \[ \int \cos(x^2 + 1) x dx = \int \cos t \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \sin t + C = \frac{1}{2} \sin(x^2 + 1) + C \] б) \( \int_{0}^{1} \frac{x dx}{(x^2 + 1)^3} \) Решение: Пусть \( t = x^2 + 1 \), тогда \( dt = 2x dx \), \( x dx = \frac{1}{2} dt \). Изменим пределы интегрирования: если \( x = 0 \), то \( t = 1 \); если \( x = 1 \), то \( t = 2 \). \[ \int_{1}^{2} \frac{\frac{1}{2} dt}{t^3} = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} t^{-3} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{t^2} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = -\frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{3}{16} \] Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения \( (1 + e^x) y' = y e^x \), удовлетворяющее начальному условию \( y(0) = 2 \). Решение: Разделим переменные, учитывая \( y' = \frac{dy}{dx} \): \[ (1 + e^x) \frac{dy}{dx} = y e^x \implies \frac{dy}{y} = \frac{e^x dx}{1 + e^x} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{e^x dx}{1 + e^x} \] \[ \ln|y| = \ln(1 + e^x) + \ln C \implies y = C(1 + e^x) \] Используем начальное условие \( y(0) = 2 \): \[ 2 = C(1 + e^0) \implies 2 = C(1 + 1) \implies 2 = 2C \implies C = 1 \] Частное решение: \[ y = 1 + e^x \] Задание 4. Два стрелка стреляют по одной мишени. Первый стреляет 1 раз (\( p_1 = 0,4 \)), второй — 2 раза (\( p_2 = 0,3 \)). Составить закон распределения \( X \) — общего числа попаданий. Решение: Случайная величина \( X \) может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятности промахов: \( q_1 = 1 - 0,4 = 0,6 \); \( q_2 = 1 - 0,3 = 0,7 \). Для второго стрелка (биномиальное распределение для \( n=2 \)): \( P_2(0) = 0,7^2 = 0,49 \); \( P_2(1) = 2 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,42 \); \( P_2(2) = 0,3^2 = 0,09 \). Вычислим вероятности для \( X \): \( P(X=0) = 0,6 \cdot 0,49 = 0,294 \) \( P(X=1) = 0,4 \cdot 0,49 + 0,6 \cdot 0,42 = 0,196 + 0,252 = 0,448 \) \( P(X=2) = 0,4 \cdot 0,42 + 0,6 \cdot 0,09 = 0,168 + 0,054 = 0,222 \) \( P(X=3) = 0,4 \cdot 0,09 = 0,036 \) Проверка: \( 0,294 + 0,448 + 0,222 + 0,036 = 1 \). Математическое ожидание: \[ M(X) = 0 \cdot 0,294 + 1 \cdot 0,448 + 2 \cdot 0,222 + 3 \cdot 0,036 = 0,448 + 0,444 + 0,108 = 1,0 \] Дисперсия: \[ M(X^2) = 0^2 \cdot 0,294 + 1^2 \cdot 0,448 + 2^2 \cdot 0,222 + 3^2 \cdot 0,036 = 0,448 + 0,888 + 0,324 = 1,66 \] \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 1,66 - 1,0^2 = 0,66 \]