Решение Задачи: Эволюция Спина в Магнитном Поле

Задача по квантовой механике: эволюция спинового состояния во внешнем магнитном поле. Дано: Начальное состояние: \[ |\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \\ -i \end{pmatrix} \] Магнитное поле направлено вдоль оси y: \( \mathbf{B} = (0, B, 0) \). Оператор энергии (гамильтониан): \( \hat{H} = -\hat{\boldsymbol{\mu}} \cdot \mathbf{B} \). Для частицы со спином 1/2: \( \hat{\boldsymbol{\mu}} = \gamma \hat{\mathbf{S}} = \gamma \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \). Тогда \( \hat{H} = -\frac{\gamma \hbar B}{2} \sigma_y = -\frac{\hbar \omega}{2} \sigma_y \), где \( \omega = \gamma B \) — ларморовская частота. Решение: 1. Эволюция во времени. Оператор эволюции: \( \hat{U}(t) = \exp(-i \hat{H} t / \hbar) = \exp(i \frac{\omega t}{2} \sigma_y) \). Используя формулу Эйлера для матриц Паули: \( \exp(i \alpha \sigma_y) = I \cos \alpha + i \sigma_y \sin \alpha \). \[ \hat{U}(t) = \begin{pmatrix} \cos \frac{\omega t}{2} & \sin \frac{\omega t}{2} \\ -\sin \frac{\omega t}{2} & \cos \frac{\omega t}{2} \end{pmatrix} \] Состояние в момент времени t: \[ |\psi(t)\rangle = \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \cos \frac{\omega t}{2} & \sin \frac{\omega t}{2} \\ -\sin \frac{\omega t}{2} & \cos \frac{\omega t}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ -i \end{pmatrix} = \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \cos \frac{\omega t}{2} - \sin \frac{\omega t}{2} \\ -\sin \frac{\omega t}{2} - \cos \frac{\omega t}{2} \end{pmatrix} \] 2. Вероятность обнаружить проекцию спина против оси z. Это вероятность состояния \( |z-\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). \[ P_{z-} = |\langle z- | \psi(t) \rangle|^2 = \left| \frac{i}{\sqrt{2}} (-\sin \frac{\omega t}{2} - \cos \frac{\omega t}{2}) \right|^2 = \frac{1}{2} (1 + \sin \omega t) \] 3. Вероятность обнаружить проекцию спина вдоль оси y. Собственный вектор \( \sigma_y \) с собственным значением +1: \( |y+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \). \[ P_{y+} = |\langle y+ | \psi(t) \rangle|^2 \] Заметим, что начальное состояние \( |\psi(0)\rangle \) является собственным для \( \sigma_y \) с собственным значением -1: \[ \sigma_y |\psi(0)\rangle = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \\ -i \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot |\psi(0)\rangle \] (с точностью до фазы). Так как гамильтониан пропорционален \( \sigma_y \), состояние \( |y-\rangle \) является стационарным. Следовательно, вероятность найти систему в состоянии \( |y+\rangle \) всегда равна 0. \[ P_{y+} = 0 \] 4. Направление вектора среднего магнитного момента при \( t = \pi / \omega \). При \( t = \pi / \omega \), угол \( \omega t / 2 = \pi / 2 \). \[ |\psi(\pi/\omega)\rangle = \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ -1 - 0 \end{pmatrix} = \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \] Вычислим средние значения матриц Паули: \[ \langle \sigma_x \rangle = \langle \psi | \sigma_x | \psi \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1 \] \[ \langle \sigma_y \rangle = \langle \psi | \sigma_y | \psi \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} (i - i) = 0 \] \[ \langle \sigma_z \rangle = \langle \psi | \sigma_z | \psi \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} (-1 + 1) = 0 \] Средний магнитный момент \( \langle \hat{\boldsymbol{\mu}} \rangle \) пропорционален \( (\langle \sigma_x \rangle, \langle \sigma_y \rangle, \langle \sigma_z \rangle) = (1, 0, 0) \). Ответ: 1) \( P_{z-} = \frac{1}{2} (1 + \sin \omega t) \) 2) \( P_{y+} = 0 \) 3) Вектор среднего магнитного момента направлен вдоль оси x.