Решение задач по алгебре: Вариант 4

Вариант 4 Задание 1. Вычислите: а) \( 35\sqrt{\frac{1}{25}} + 4\sqrt{1,21} = 35 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot 1,1 = 7 + 4,4 = 11,4 \) б) \( 23 - 2\sqrt{\frac{1}{16}} = 23 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 23 - 0,5 = 22,5 \) в) \( (4\sqrt{1,5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{1,5})^2 = 16 \cdot 1,5 = 24 \) Задание 2. Выполните действие: а) \( \frac{y - 5}{3y} + \frac{y + 15}{9y} = \frac{3(y - 5) + (y + 15)}{9y} = \frac{3y - 15 + y + 15}{9y} = \frac{4y}{9y} = \frac{4}{9} \) б) \( \frac{1}{m - 6} - \frac{1}{m + 6} = \frac{(m + 6) - (m - 6)}{(m - 6)(m + 6)} = \frac{m + 6 - m + 6}{m^2 - 36} = \frac{12}{m^2 - 36} \) Задание 3. Упростите выражение и найдите его значение: \( 5x + \frac{7y - 30x^2}{6x} = \frac{5x \cdot 6x + 7y - 30x^2}{6x} = \frac{30x^2 + 7y - 30x^2}{6x} = \frac{7y}{6x} \) Подставим \( x = -\frac{7}{3} \) и \( y = 15 \): \( \frac{7 \cdot 15}{6 \cdot (-\frac{7}{3})} = \frac{105}{-14} = -7,5 \) Задание 4. Упростите выражение: \( 4 - \frac{4x - 5}{x^2 + 2x + 1} - \frac{4x}{x + 1} = 4 - \frac{4x - 5}{(x + 1)^2} - \frac{4x}{x + 1} = \frac{4(x + 1)^2 - (4x - 5) - 4x(x + 1)}{(x + 1)^2} = \) \( = \frac{4(x^2 + 2x + 1) - 4x + 5 - 4x^2 - 4x}{(x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 8x + 4 - 4x + 5 - 4x^2 - 4x}{(x + 1)^2} = \frac{9}{(x + 1)^2} \) Задание 5. Решите уравнение: а) \( x^2 = 16 \) \( x_1 = 4, x_2 = -4 \) б) \( x^2 = 14 \) \( x_1 = \sqrt{14}, x_2 = -\sqrt{14} \) в) \( (\sqrt{x})^2 = 10 \) При условии \( x \ge 0 \): \( x = 10 \) Задание 6. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение: \( \frac{4}{5 - \sqrt{x}} \) Выражение имеет смысл, если: 1) Подкоренное выражение неотрицательно: \( x \ge 0 \) 2) Знаменатель не равен нулю: \( 5 - \sqrt{x} \neq 0 \) Решим второе условие: \( \sqrt{x} \neq 5 \) \( x \neq 25 \) Ответ: \( x \in [0; 25) \cup (25; +\infty) \)