Решение задач по геометрии с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач с листа, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, биссектриса угла \(A\) образует со стороной \(BC\) угол \(44^\circ\). Найти: острый угол параллелограмма. Решение: 1) Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Тогда \(\angle BAK = \angle KAD\) (так как \(AK\) — биссектриса). 2) Стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны, а \(AK\) — секущая. Следовательно, накрест лежащие углы равны: \(\angle KAD = \angle BKA = 44^\circ\). 3) Так как \(\angle BAK = \angle KAD\), то \(\angle BAK = 44^\circ\). 4) Весь угол \(A\) параллелограмма равен: \(\angle A = \angle BAK + \angle KAD = 44^\circ + 44^\circ = 88^\circ\). Ответ: \(88^\circ\). Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 25\), \(CH \perp AB\), \(CH = 10\sqrt{6}\). Найти: \(\sin \angle ABC\). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике \(ACH\) (\(\angle H = 90^\circ\)): \[ \sin \angle A = \frac{CH}{AC} = \frac{10\sqrt{6}}{25} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \] 2) В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\angle A + \angle B = 90^\circ\). 3) По формулам приведения: \(\sin \angle B = \sin(90^\circ - \angle A) = \cos \angle A\). 4) Найдем \(\cos \angle A\) через основное тригонометрическое тождество: \[ \cos \angle A = \sqrt{1 - \sin^2 \angle A} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0,2 \] Ответ: \(0,2\). Задача 3. Дано: \(ABCDEFGHI\) — правильный девятиугольник. Найти: \(\angle DAC\). Решение: 1) Сумма углов правильного \(n\)-угольника равна \((n-2) \cdot 180^\circ\). Для \(n=9\): \[ \Sigma = (9-2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ \] 2) Один угол девятиугольника: \(\angle B = 1260^\circ : 9 = 140^\circ\). 3) Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB=BC\)), значит \(\angle BAC = (180^\circ - 140^\circ) : 2 = 20^\circ\). 4) Треугольник \(ABD\) также вписан в окружность. Углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Дуга \(BC\) стягивает угол \(20^\circ\). Угол \(DAC\) опирается на дугу \(CD\), которая равна дуге \(BC\). В правильном многоугольнике угол между диагоналями, выходящими из одной вершины, опирается на одну сторону: \[ \angle DAC = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \] Ответ: \(20^\circ\). Задача 5. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 45^\circ\), \(AB = 6\sqrt{2}\). Найти: \(R\) (радиус описанной окружности). Решение: По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \] \[ 2R = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12 \] \[ R = 12 : 2 = 6 \] Ответ: \(6\). Задача 7. Дано: Прямоугольник, \(P = 102\), отношение сторон \(2:15\). Найти: \(S\) (площадь). Решение: 1) Пусть стороны равны \(2x\) и \(15x\). 2) Периметр \(P = 2(2x + 15x) = 102\). \[ 2 \cdot 17x = 102 \Rightarrow 34x = 102 \Rightarrow x = 3 \] 3) Стороны: \(a = 2 \cdot 3 = 6\), \(b = 15 \cdot 3 = 45\). 4) Площадь \(S = a \cdot b = 6 \cdot 45 = 270\). Ответ: \(270\). Задача 8. Дано: \(S_{ABCD} = 18\), \(E\) — середина \(AB\). Найти: \(S_{EBCD}\). Решение: 1) Проведем диагональ \(BD\). Она делит параллелограмм на два равных треугольника: \(S_{ABD} = S_{BCD} = 18 : 2 = 9\). 2) В треугольнике \(ABD\) отрезок \(DE\) является медианой (так как \(E\) — середина \(AB\)). 3) Медиана делит треугольник на два равновеликих: \(S_{ADE} = S_{BDE} = 9 : 2 = 4,5\). 4) Площадь трапеции \(EBCD\) состоит из площадей \(\triangle BDE\) и \(\triangle BCD\): \[ S_{EBCD} = 4,5 + 9 = 13,5 \] Ответ: \(13,5\).