Решение итоговой контрольной работы (Вариант №6)

Ниже представлено решение итоговой контрольной работы (Вариант №6), оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Вычислите: а) \(\frac{3^8 \cdot 10^5}{30^5} = \frac{3^8 \cdot 10^5}{(3 \cdot 10)^5} = \frac{3^8 \cdot 10^5}{3^5 \cdot 10^5} = 3^{8-5} = 3^3 = 27\) б) \(\frac{\sqrt[5]{80} \cdot \sqrt[5]{10}}{\sqrt[5]{25}} = \sqrt[5]{\frac{80 \cdot 10}{25}} = \sqrt[5]{\frac{800}{25}} = \sqrt[5]{32} = 2\) в) \(\frac{(9\sqrt{3})^2}{27} = \frac{9^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{27} = \frac{81 \cdot 3}{27} = \frac{243}{27} = 9\) Задание 2. Вычислите значение выражения: а) \((\frac{1}{8})^{-2 - \log_{\frac{1}{8}} 2} = (\frac{1}{8})^{-2} \cdot (\frac{1}{8})^{-\log_{\frac{1}{8}} 2} = 8^2 \cdot ((\frac{1}{8})^{\log_{\frac{1}{8}} 2})^{-1} = 64 \cdot 2^{-1} = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32\) б) \(\frac{\log_5 14^{35}}{5 \log_5 14} + \log_8 80 - \log_8 1,25 = \frac{35 \log_5 14}{5 \log_5 14} + \log_8 \frac{80}{1,25} = 7 + \log_8 64 = 7 + 2 = 9\) г) \(\frac{\log_4 0,5}{\log_4 7} + \log_7 98 = \log_7 0,5 + \log_7 98 = \log_7 (0,5 \cdot 98) = \log_7 49 = 2\) Задание 3. Решите простейшие уравнения: а) \(\sqrt[7]{3x - 10} = -1\) Возведем в 7-ю степень: \(3x - 10 = (-1)^7\) \(3x - 10 = -1\) \(3x = 9\) \(x = 3\) б) \(7^{3x-7} = 49\) \(7^{3x-7} = 7^2\) \(3x - 7 = 2\) \(3x = 9\) \(x = 3\) в) \(\log_{\frac{1}{9}}(-4x + 1) = -2\) \(-4x + 1 = (\frac{1}{9})^{-2}\) \(-4x + 1 = 9^2\) \(-4x + 1 = 81\) \(-4x = 80\) \(x = -20\) Задание 4. Найдите корень уравнения: \(\sqrt{15 + 2x} = x\) ОДЗ: \(x \ge 0\) Возведем в квадрат: \(15 + 2x = x^2\) \(x^2 - 2x - 15 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\). Учитывая ОДЗ (\(x \ge 0\)), подходит только \(x = 5\). Ответ: 5. Задание 5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя: \(2^{x+3} - 5 \cdot 2^x = 12\) \(2^x \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^x = 12\) \(2^x(8 - 5) = 12\) \(2^x \cdot 3 = 12\) \(2^x = 4\) \(x = 2\) Задание 6. Решите уравнение методом введения новой переменной: \(\log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0\) Пусть \(\log_2 x = t\), тогда: \(t^2 - 5t + 6 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = 2\), \(t_2 = 3\). Обратная замена: 1) \(\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4\) 2) \(\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8\) Ответ: 4; 8. Задание 7. Геометрическая задача: Дано: проекция \(d = 12\) см, перпендикуляр \(h = 35\) см. Найти: наклонную \(AB\). Решение: Наклонная, ее проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37\) см. Ответ: 37 см. Задание 8. Решите неравенства: а) \(\log_{\frac{1}{3}}(-2x + 7) \ge -2\) ОДЗ: \(-2x + 7 > 0 \Rightarrow x < 3,5\) \(-2x + 7 \le (\frac{1}{3})^{-2}\) (знак меняется, так как основание \(< 1\)) \(-2x + 7 \le 9\) \(-2x \le 2\) \(x \ge -1\) С учетом ОДЗ: \(x \in [-1; 3,5)\) б) \(4^{-x+3} > 16^{2x-6}\) \(4^{-x+3} > (4^2)^{2x-6}\) \(-x + 3 > 4x - 12\) \(-5x > -15\) \(x < 3\) Ответ: \(x \in (-\infty; 3)\) Задание 9. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = -9 \\ \log_8 2^{-2x+y} = 4 \end{cases} \] Из второго уравнения: \(2^{-2x+y} = 8^4\) \(2^{-2x+y} = (2^3)^4 = 2^{12}\) \(-2x + y = 12\) Система принимает вид: \[ \begin{cases} x - y = -9 \\ -2x + y = 12 \end{cases} \] Сложим уравнения: \((x - y) + (-2x + y) = -9 + 12\) \(-x = 3 \Rightarrow x = -3\) Подставим в первое уравнение: \(-3 - y = -9 \Rightarrow y = 6\) Ответ: \((-3; 6)\).