Решение задач: степени, корни, логарифмы

Ниже представлено решение задач из вашей контрольной работы, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Вычислите, используя свойства степени и корня. а) \[ \frac{72^{11}}{9^{10} \cdot 8^9} = \frac{(9 \cdot 8)^{11}}{9^{10} \cdot 8^9} = \frac{9^{11} \cdot 8^{11}}{9^{10} \cdot 8^9} = 9^{11-10} \cdot 8^{11-9} = 9^1 \cdot 8^2 = 9 \cdot 64 = 576 \] б) \[ \frac{\sqrt[4]{128} \cdot \sqrt[4]{28}}{\sqrt[4]{14}} = \sqrt[4]{\frac{128 \cdot 28}{14}} = \sqrt[4]{128 \cdot 2} = \sqrt[4]{256} = 4 \] в) \[ \frac{(7\sqrt{3})^2}{21} = \frac{7^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{21} = \frac{49 \cdot 3}{21} = \frac{147}{21} = 7 \] Задание 2. Вычислите значение выражения. а) \[ 5^{3 + \log_5 3} = 5^3 \cdot 5^{\log_5 3} = 125 \cdot 3 = 375 \] б) \[ \log_6 0,8 + \log_6 45 - \frac{\log_3 8^{26}}{2 \log_3 8} = \log_6 (0,8 \cdot 45) - \frac{26 \log_3 8}{2 \log_3 8} = \log_6 36 - 13 = 2 - 13 = -11 \] г) \[ \log_5 60 - \frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5} = \log_5 60 - \log_5 12 = \log_5 \frac{60}{12} = \log_5 5 = 1 \] Задание 3. Решите простейшие уравнения. а) \[ \sqrt[3]{2x - 3} = -3 \] \[ 2x - 3 = (-3)^3 \] \[ 2x - 3 = -27 \] \[ 2x = -24 \] \[ x = -12 \] б) \[ 16^{3x+13} = \frac{1}{16} \] \[ 16^{3x+13} = 16^{-1} \] \[ 3x + 13 = -1 \] \[ 3x = -14 \] \[ x = -4\frac{2}{3} \] в) \[ \log_{\frac{1}{3}} (5x - 6) = -2 \] \[ 5x - 6 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \] \[ 5x - 6 = 3^2 \] \[ 5x - 6 = 9 \] \[ 5x = 15 \] \[ x = 3 \] Задание 4. Найдите корень уравнения. \[ \sqrt{-14 - 9x} = -x \] Условие: \( -x \geq 0 \), значит \( x \leq 0 \). \[ -14 - 9x = (-x)^2 \] \[ -14 - 9x = x^2 \] \[ x^2 + 9x + 14 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -2, \quad x_2 = -7 \] Оба корня удовлетворяют условию \( x \leq 0 \). В ответ нужно указать меньший из них. Ответ: -7. Задание 5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя. \[ 6^{x+1} - 2 \cdot 6^x = 144 \] \[ 6^x \cdot 6^1 - 2 \cdot 6^x = 144 \] \[ 6^x (6 - 2) = 144 \] \[ 6^x \cdot 4 = 144 \] \[ 6^x = 36 \] \[ 6^x = 6^2 \] \[ x = 2 \] Задание 6. Решите уравнение методом введения новой переменной. \[ \log_4^2 x - 4 \log_4 x + 3 = 0 \] Пусть \( \log_4 x = t \). \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 = 1, \quad t_2 = 3 \] Обратная замена: 1) \( \log_4 x = 1 \Rightarrow x = 4^1 = 4 \) 2) \( \log_4 x = 3 \Rightarrow x = 4^3 = 64 \) Ответ: 4; 64.