Хорошо, давайте решим задачи по порядку.
Задача 2
Найти значение выражения:
\[ \left(\frac{2}{5} + \frac{13}{15}\right) \cdot 6 \]
Решение:
Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 15 будет 15.
\[ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} \]
Теперь сложим дроби:
\[ \frac{6}{15} + \frac{13}{15} = \frac{6 + 13}{15} = \frac{19}{15} \]
Теперь умножим полученную дробь на 6:
\[ \frac{19}{15} \cdot 6 \]
Можно сократить 6 и 15 на 3:
\[ \frac{19}{5} \cdot 2 = \frac{38}{5} \]
Переведем неправильную дробь в десятичную:
\[ \frac{38}{5} = 7,6 \]
Ответ: 7,6
Задача 3
На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу \( \sqrt{96} \). Укажите эту точку.
Решение:
Для того чтобы определить, какой точке соответствует число \( \sqrt{96} \), нужно оценить его значение.
Мы знаем, что:
\( \sqrt{81} = 9 \)
\( \sqrt{100} = 10 \)
Так как \( 81 < 96 < 100 \), то \( \sqrt{81} < \sqrt{96} < \sqrt{100} \).
Значит, \( 9 < \sqrt{96} < 10 \).
На координатной прямой точка C находится между 9 и 10.
Точка A находится между 8 и 9.
Точка B находится между 8 и 9.
Точка D находится между 9 и 10, но ближе к 10.
Давайте уточним значение \( \sqrt{96} \).
\( 9,5^2 = (10 - 0,5)^2 = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 0,5 + 0,5^2 = 100 - 10 + 0,25 = 90,25 \)
\( 9,8^2 = (10 - 0,2)^2 = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 0,2 + 0,2^2 = 100 - 4 + 0,04 = 96,04 \)
Таким образом, \( \sqrt{96} \) очень близко к 9,8.
На координатной прямой точка C находится примерно на 9,2-9,3, а точка D примерно на 9,8.
Следовательно, \( \sqrt{96} \) соответствует точке D.
Ответ: 4 (точка D)
Задача 4
Найдите значение выражения \( \frac{a^8 \cdot a^{10}}{a^{16}} \) при \( a = 4 \).
Решение:
Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\( a^8 \cdot a^{10} = a^{8+10} = a^{18} \)
Теперь подставим это в выражение:
\( \frac{a^{18}}{a^{16}} \)
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
\( \frac{a^{18}}{a^{16}} = a^{18-16} = a^2 \)
Теперь подставим значение \( a = 4 \):
\( a^2 = 4^2 = 16 \)
Ответ: 16
Задача 5
Решите уравнение \( x^2 + 2x = 8 \). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение:
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -8 \).
\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 - (-32) = 4 + 32 = 36 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня.
Корни находятся по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Уравнение имеет два корня: 2 и -4.
Меньший из корней - это -4.
Ответ: -4
Задача 6
В соревнованиях по гимнастике участвуют 7 спортсменок из Мексики, 6 из Бразилии, 5 из Чили и 2 из Перу. Порядок, в котором гимнастки стартуют, определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили.
Решение:
Сначала найдем общее количество спортсменок:
\( 7 \text{ (Мексика)} + 6 \text{ (Бразилия)} + 5 \text{ (Чили)} + 2 \text{ (Перу)} = 20 \) спортсменок.
Нам нужно найти вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили.
Количество спортсменок из Мексики: 7.
Количество спортсменок из Чили: 5.
Общее количество спортсменок, которые подходят под условие (из Мексики или Чили):
\( 7 + 5 = 12 \) спортсменок.
Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.
Поскольку порядок определяется случайным образом, вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили, не зависит от того, кто выступал первым. Каждый слот в порядке выступления имеет одинаковую вероятность быть занятым любой из спортсменок.
Таким образом, вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили, равна:
\[ P = \frac{\text{Количество спортсменок из Мексики или Чили}}{\text{Общее количество спортсменок}} \]
\[ P = \frac{12}{20} \]
Сократим дробь:
\[ P = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5} \]
Переведем в десятичную дробь:
\[ P = 0,6 \]
Ответ: 0,6
Задача 9
Укажите решение неравенства \( 4x - 5 \ge 2x - 4 \).
Решение:
Перенесем все члены с \( x \) в левую часть неравенства, а постоянные члены - в правую:
\( 4x - 2x \ge -4 + 5 \)
Выполним вычисления:
\( 2x \ge 1 \)
Разделим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 - положительное число, знак неравенства не меняется:
\( x \ge \frac{1}{2} \)
\( x \ge 0,5 \)
Это означает, что решением являются все числа, которые больше или равны 0,5. На числовой прямой это изображается отрезком, начинающимся от 0,5 (включая 0,5) и уходящим вправо до бесконечности. Точка 0,5 должна быть закрашена, а стрелка должна указывать вправо.
Среди предложенных вариантов:
1) \( x \ge -1,5 \)
2) \( x \ge 0,5 \)
3) \( x \le -1,5 \)
4) \( x \le 0,5 \)
Правильный вариант - 2.
Ответ: 2
Задача 7А
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Графики:
А) Гипербола в I и III четвертях.
Б) Гипербола в I четверти.
В) Гипербола во II и IV четвертях.
Формулы:
1) \( y = \frac{8}{x} \)
2) \( y = -\frac{1}{8x} \)
3) \( y = -\frac{8}{x} \)
Решение:
Рассмотрим каждую формулу:
1) \( y = \frac{8}{x} \). Это гипербола. Поскольку коэффициент 8 положительный, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях. Это соответствует графику А.
2) \( y = -\frac{1}{8x} \). Это гипербола. Поскольку коэффициент \( -\frac{1}{8} \) отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Это соответствует графику В.
3) \( y = -\frac{8}{x} \). Это гипербола. Поскольку коэффициент -8 отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Однако, график В уже соответствует формуле 2. Давайте внимательнее посмотрим на графики.
График Б - это часть гиперболы, расположенная только в I четверти. Это может быть, если функция определена только для \( x > 0 \), или если это не полная гипербола. Но обычно, когда говорят о графике гиперболы \( y = \frac{k}{x} \), подразумевают обе ветви.
Давайте перепроверим.
График А: ветви в I и III четвертях. Это соответствует \( y = \frac{k}{x} \) при \( k > 0 \). Формула 1: \( y = \frac{8}{x} \). Значит, А - 1.
График В: ветви во II и IV четвертях. Это соответствует \( y = \frac{k}{x} \) при \( k < 0 \). Формулы 2 и 3 имеют отрицательный коэффициент.
Формула 2: \( y = -\frac{1}{8x} \).
Формула 3: \( y = -\frac{8}{x} \).
Оба графика 2 и 3 будут иметь ветви во II и IV четвертях.
На графике В ветви расположены дальше от осей, чем у стандартной гиперболы \( y = -\frac{1}{x} \). Это означает, что абсолютное значение коэффициента \( k \) должно быть больше 1.
\( |-\frac{1}{8}| = \frac{1}{8} \)
\( |-8| = 8 \)
График В больше похож на \( y = -\frac{8}{x} \) (формула 3), так как его ветви расположены дальше от начала координат, чем у \( y = -\frac{1}{8x} \).
График Б - это гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях, но на рисунке показана только часть в I четверти. Если бы это была полная гипербола, то она бы соответствовала \( y = \frac{k}{x} \) при \( k > 0 \).
Однако, если внимательно посмотреть на график Б, он выглядит как \( y = \frac{k}{x} \) с \( k > 0 \), но с ветвями, расположенными ближе к осям, чем у графика А.
Давайте предположим, что графики А, Б, В соответствуют формулам 1, 2, 3 в каком-то порядке.
А) \( y = \frac{8}{x} \) (коэффициент 8, ветви в I и III четвертях).
Б) \( y = -\frac{1}{8x} \) (коэффициент \( -\frac{1}{8} \), ветви во II и IV четвертях).
В) \( y = -\frac{8}{x} \) (коэффициент -8, ветви во II и IV четвертях).
Если график А - это \( y = \frac{8}{x} \), то он должен быть в I и III четвертях. На рисунке А именно так.
Если график В - это \( y = -\frac{8}{x} \), то он должен быть во II и IV четвертях. На рисунке В именно так.
Тогда график Б должен быть \( y = -\frac{1}{8x} \). Но на рисунке Б ветви в I и III четвертях. Это противоречие.
Возможно, я неправильно интерпретировал графики Б и В.
Давайте еще раз.
График А: ветви в I и III четвертях. Это \( y = \frac{k}{x} \) с \( k > 0 \). Подходит формула 1: \( y = \frac{8}{x} \).
График Б: ветви в I и III четвертях. Это \( y = \frac{k}{x} \) с \( k > 0 \).
График В: ветви во II и IV четвертях. Это \( y = \frac{k}{x} \) с \( k < 0 \). Подходят формулы 2 и 3.
Если графики А, Б, В соответствуют формулам 1, 2, 3, то:
А - 1 (положительный коэффициент, I и III четверти).
В - 2 или 3 (отрицательный коэффициент, II и IV четверти).
Б - тогда должна быть оставшаяся формула. Но график Б тоже в I и III четвертях.
Возможно, в задании есть ошибка в изображении графиков или в формулах.
Однако, если мы должны выбрать соответствие, то:
График А (ветви в I и III четвертях) соответствует \( y = \frac{8}{x} \) (формула 1).
График В (ветви во II и IV четвертях) соответствует \( y = -\frac{1}{8x} \) (формула 2) или \( y = -\frac{8}{x} \) (формула 3).
График Б (ветви в I и III четвертях) не соответствует ни одной из оставшихся формул 2 или 3.
Давайте предположим, что графики А, Б, В - это три разных графика, и мы должны сопоставить их с тремя формулами.
1) \( y = \frac{8}{x} \) - ветви в I и III четвертях.
2) \( y = -\frac{1}{8x} \) - ветви во II и IV четвертях.
3) \( y = -\frac{8}{x} \) - ветви во II и IV четвертях.
На рисунке:
График А - ветви в I и III четвертях.
График Б - ветви в I и III четвертях.
График В - ветви во II и IV четвертях.
Это означает, что две формулы (2 и 3) должны соответствовать графику В, а две формулы (1 и какая-то другая) должны соответствовать графикам А и Б.
Это нелогично для задания на соответствие "один к одному".
Давайте пересмотрим задание. "Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают."
Возможно, графики А, Б, В - это просто обозначения для разных типов гипербол, а не конкретные изображения.
Но обычно в таких заданиях графики нарисованы точно.
Если предположить, что графики А и Б - это гиперболы с положительным коэффициентом, а В - с отрицательным.
Тогда:
А - \( y = \frac{8}{x} \) (формула 1).
В - \( y = -\frac{1}{8x} \) (формула 2) или \( y = -\frac{8}{x} \) (формула 3).
Если посмотреть на масштаб, то график В выглядит "шире", чем график А. Это означает, что абсолютное значение коэффициента \( k \) для В должно быть больше, чем для А, если бы они были в одной четверти. Но они в разных.
Сравним \( y = -\frac{1}{8x} \) и \( y = -\frac{8}{x} \). График \( y = -\frac{8}{x} \) будет дальше от осей, чем \( y = -\frac{1}{8x} \).
График В выглядит как "широкая" гипербола, поэтому, скорее всего, это \( y = -\frac{8}{x} \) (формула 3).
Тогда для графика Б остается \( y = -\frac{1}{8x} \) (формула 2). Но график Б находится в I и III четвертях, а формула 2 должна быть во II и IV.
Есть явное несоответствие между изображениями графиков и предложенными формулами, если считать, что графики А, Б, В должны быть сопоставлены с формулами 1, 2, 3.
Если же графики А, Б, В - это просто три разных графика, и мы должны выбрать
