Вычисление смешанного произведения векторов a(2, -3, -4), b(1, -4, 0), c(0, 4, 6)

Экзаменационный билет № 10 Дисциплина «Математика» Задание 1. Вычислить смешанное произведение векторов \(\vec{a}(2, -3, -4)\), \(\vec{b}(1, -4, 0)\), \(\vec{c}(0, 4, 6)\). Решение: Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов. Запишем формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \] Подставим координаты заданных векторов в определитель: \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -4 \\ 1 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 6 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель по правилу треугольника (или разложением по строке/столбцу). Удобнее всего разложить по третьему столбцу, так как там есть ноль: \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = -4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \] Выполним промежуточные вычисления: 1) \(-4 \cdot (1 \cdot 4 - 0 \cdot (-4)) = -4 \cdot 4 = -16\) 2) \(6 \cdot (2 \cdot (-4) - 1 \cdot (-3)) = 6 \cdot (-8 + 3) = 6 \cdot (-5) = -30\) Сложим полученные результаты: \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = -16 - 30 = -46 \] Ответ: смешанное произведение векторов равно -46.