Решение задач №7, №8, №9: Геометрия и Алгебра

Продолжим решение оставшихся задач из вашего списка (номера 7, 8 и 9). Задание 7. Найдите длину перпендикуляра. Дано: наклонная \( L = 30 \) см, проекция наклонной \( P = 18 \) см. Найти: длину перпендикуляра \( H \). Решение: Перпендикуляр, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами. По теореме Пифагора: \[ H^2 + P^2 = L^2 \] \[ H^2 + 18^2 = 30^2 \] \[ H^2 + 324 = 900 \] \[ H^2 = 900 - 324 \] \[ H^2 = 576 \] \[ H = \sqrt{576} = 24 \] Ответ: 24 см. Задание 8. Решите неравенства. а) \[ 5^{4x+9} \geq \frac{1}{125} \] \[ 5^{4x+9} \geq 5^{-3} \] Так как основание \( 5 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ 4x + 9 \geq -3 \] \[ 4x \geq -12 \] \[ x \geq -3 \] Ответ: \( x \in [-3; +\infty) \) б) \[ \log_{\frac{1}{3}} (4x - 8) > \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) \] Учитываем область допустимых значений (ОДЗ): \[ \begin{cases} 4x - 8 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > 2 \] Так как основание логарифма \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: \[ 4x - 8 < x + 1 \] \[ 3x < 9 \] \[ x < 3 \] С учетом ОДЗ: \( 2 < x < 3 \). Ответ: \( (2; 3) \) Задание 9. Решите систему уравнений. \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ \log_{81} 3^{2x-y} = 2 \end{cases} \] Преобразуем второе уравнение: \[ \log_{81} 3^{2x-y} = 2 \Rightarrow 3^{2x-y} = 81^2 \] Так как \( 81 = 3^4 \), то \( 81^2 = (3^4)^2 = 3^8 \): \[ 3^{2x-y} = 3^8 \Rightarrow 2x - y = 8 \ \] Теперь имеем систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 8 \end{cases} \] Сложим эти уравнения: \[ (x + y) + (2x - y) = 4 + 8 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение: \[ 4 + y = 4 \] \[ y = 0 \] Ответ: (4; 0).