Вариант 3001
Задание 7А
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.Графики: А) График функции \(y = \frac{k}{x}\) с \(k > 0\), расположенный в I и III четвертях. Б) График функции \(y = \frac{k}{x}\) с \(k < 0\), расположенный в II и IV четвертях. В) График функции \(y = \frac{k}{x}\) с \(k > 0\), расположенный в I и III четвертях, но с более крутым изгибом, чем А.
Формулы: 1) \(y = \frac{8}{x}\) 2) \(y = -\frac{1}{8x}\) 3) \(y = -\frac{8}{x}\)
Решение: Рассмотрим каждую формулу и определим, какому графику она соответствует. 1) \(y = \frac{8}{x}\) Это гипербола, расположенная в I и III четвертях, так как \(k = 8 > 0\). Сравним с графиком А. График А также расположен в I и III четвертях. Значит, формула 1 соответствует графику А. 2) \(y = -\frac{1}{8x}\) Это гипербола, расположенная во II и IV четвертях, так как \(k = -\frac{1}{8} < 0\). Сравним с графиком Б. График Б также расположен во II и IV четвертях. Значит, формула 2 соответствует графику Б. 3) \(y = -\frac{8}{x}\) Это гипербола, расположенная во II и IV четвертях, так как \(k = -8 < 0\). Сравним с графиком В. График В также расположен во II и IV четвертях. Значит, формула 3 соответствует графику В.
Ответ:
| А | Б | В |
| 1 | 2 | 3 |
Задание 7Б
Точка \(N(x_N; 0,5)\) принадлежит графику, изображённому на рисунке Б. Найдите \(x_N\).Решение: Из задания 7А мы определили, что графику Б соответствует формула 2: \(y = -\frac{1}{8x}\). Точка \(N(x_N; 0,5)\) принадлежит этому графику, значит, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим \(y = 0,5\) в формулу: \(0,5 = -\frac{1}{8x_N}\) Чтобы найти \(x_N\), выразим его из уравнения: \(0,5 \cdot 8x_N = -1\) \(4x_N = -1\) \(x_N = -\frac{1}{4}\) \(x_N = -0,25\)
Ответ: -0,25
Задание 8
Если тело массой \(m\) кг находится на высоте \(h\) м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия (в джоулях) вычисляется по формуле \(E_p = mgh\), где \(g = 9,8 \frac{м}{с^2}\) — ускорение свободного падения. Найдите массу тела, находящегося на высоте 50 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3430 джоулям. Ответ дайте в килограммах.Решение: Дано: Высота \(h = 50\) м Потенциальная энергия \(E_p = 3430\) Дж Ускорение свободного падения \(g = 9,8 \frac{м}{с^2}\) Формула: \(E_p = mgh\) Нужно найти массу \(m\). Выразим \(m\) из формулы: \(m = \frac{E_p}{gh}\) Подставим известные значения: \(m = \frac{3430}{9,8 \cdot 50}\) \(m = \frac{3430}{490}\) \(m = 7\) Масса тела равна 7 кг.
Ответ: 7
Задание 9
Укажите решение неравенства \(4x - 5 \ge 2x - 4\).Решение: Дано неравенство: \(4x - 5 \ge 2x - 4\) Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числовые члены — в правую: \(4x - 2x \ge -4 + 5\) \(2x \ge 1\) Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется: \(x \ge \frac{1}{2}\) \(x \ge 0,5\) Это означает, что решением неравенства являются все числа, которые больше или равны 0,5. На числовой прямой это изображается отрезком, начинающимся от 0,5 и уходящим вправо, при этом точка 0,5 закрашена (включена в решение). Среди предложенных вариантов: 1) \(x \le -1,5\) 2) \(x \ge 0,5\) 3) \(x \ge -1,5\) 4) \(x \le 0,5\) Правильный вариант — 2), который соответствует \(x \ge 0,5\).
Ответ: 2
Вторая часть заданий
Задание 2
Найдите значение выражения \(\left(\frac{2}{5} + \frac{13}{15}\right) \cdot 6\).Решение: Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 15 равен 15. \(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\) Теперь сложим дроби: \(\frac{6}{15} + \frac{13}{15} = \frac{6 + 13}{15} = \frac{19}{15}\) Затем умножим полученную сумму на 6: \(\frac{19}{15} \cdot 6\) Можно сократить 6 и 15 на 3: \(6 \div 3 = 2\) \(15 \div 3 = 5\) Получаем: \(\frac{19}{5} \cdot 2 = \frac{19 \cdot 2}{5} = \frac{38}{5}\) Переведем неправильную дробь в десятичную: \(\frac{38}{5} = 7,6\)
Ответ: 7,6
Задание 3
На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу \(\sqrt{96}\). Укажите эту точку.Решение: Для того чтобы определить, какой точке соответствует число \(\sqrt{96}\), нужно оценить его значение. Найдем ближайшие полные квадраты: \(9^2 = 81\) \(10^2 = 100\) Так как \(81 < 96 < 100\), то \(\sqrt{81} < \sqrt{96} < \sqrt{100}\). Значит, \(9 < \sqrt{96} < 10\). Теперь посмотрим на координатную прямую. Точки расположены между 8 и 10. Точка A находится между 8 и 9. Точка B находится между 9 и 10, ближе к 9. Точка C находится между 9 и 10, ближе к 10. Точка D находится между 9 и 10, очень близко к 10. Чтобы точнее определить, сравним \(\sqrt{96}\) с 9,5. \(9,5^2 = (10 - 0,5)^2 = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 0,5 + 0,5^2 = 100 - 10 + 0,25 = 90,25\). Так как \(96 > 90,25\), то \(\sqrt{96} > 9,5\). Значит, \(\sqrt{96}\) находится между 9,5 и 10. На координатной прямой этому интервалу соответствуют точки C и D. Точка C находится примерно на 9,7-9,8. Точка D находится очень близко к 10. \(\sqrt{96}\) ближе к \(\sqrt{100}\) (10), чем к \(\sqrt{81}\) (9). Поэтому \(\sqrt{96}\) будет ближе к 10. Точка C расположена примерно на 9,8. Точка D расположена примерно на 9,9. \(\sqrt{96} \approx 9,79\). Следовательно, точка C наиболее точно соответствует числу \(\sqrt{96}\).
Ответ: 3 (точка C)
Задание 4
Найдите значение выражения \(\frac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}}\) при \(a = 4\).Решение: Используем свойства степеней: 1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). 2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Сначала упростим числитель: \(a^9 \cdot a^{12} = a^{9+12} = a^{21}\) Теперь подставим это в выражение: \(\frac{a^{21}}{a^{18}}\) Выполним деление: \(a^{21-18} = a^3\) Теперь подставим значение \(a = 4\): \(a^3 = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64\)
Ответ: 64
Задание 5
Решите уравнение \(x^2 + 2x = 8\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.Решение: Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x^2 + 2x - 8 = 0\) Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\). В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\). \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)\) \(D = 4 - (-32)\) \(D = 4 + 32\) \(D = 36\) Корни уравнения находятся по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Уравнение имеет два корня: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -4\). В ответ нужно записать меньший из корней. Меньший корень — это -4.
Ответ: -4
Задание 6
В соревнованиях по гимнастике участвуют 7 спортсменок из Мексики, 6 из Бразилии, 5 из Чили и 2 из Перу. Порядок, в котором гимнастки стартуют, определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили.Решение: Сначала найдем общее количество спортсменок: Мексика: 7 Бразилия: 6 Чили: 5 Перу: 2 Всего спортсменок: \(7 + 6 + 5 + 2 = 20\) Нам нужно найти вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили. Количество спортсменок из Мексики или Чили: \(7 + 5 = 12\) Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В данном случае, порядок выступления определяется случайным образом. Мы ищем вероятность того, что *второй* будет выступать спортсменка из Мексики или Чили. Рассмотрим два случая: 1. Первая спортсменка не из Мексики и не из Чили. 2. Первая спортсменка из Мексики или Чили. Однако, проще рассмотреть это как выбор второго человека из оставшихся, без учета того, кто был первым, если мы не знаем, кто был первым. Если мы рассматриваем вероятность того, что *второй* спортсмен будет из определенной группы, то это не зависит от того, кто был первым, если мы не имеем информации о первом. Общее количество спортсменок, которые могут быть вторыми, равно 20 (если мы не знаем, кто был первым). Количество спортсменок, которые могут быть вторыми и при этом быть из Мексики или Чили, равно 12. Таким образом, вероятность того, что второй будет выступать спортсменка из Мексики или Чили, равна: \(P = \frac{\text{Количество спортсменок из Мексики или Чили}}{\text{Общее количество спортсменок}}\) \(P = \frac{12}{20}\) Сократим дробь: \(P = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}\) Переведем в десятичную дробь: \(P = 0,6\)
Ответ: 0,6