Решение задачи №3: Выборочная средняя для интервального ряда

Задача №3 Дано: Интервальный ряд распределения дневного сбора хлопка (X, кг). 1. Найдем середины интервалов \( x_i \): Для интервала 20-25: \( x_1 = \frac{20+25}{2} = 22,5 \) Для интервала 25-30: \( x_2 = \frac{25+30}{2} = 27,5 \) Для интервала 30-35: \( x_3 = \frac{30+35}{2} = 32,5 \) Для интервала 35-40: \( x_4 = \frac{35+40}{2} = 37,5 \) Для интервала 40-45: \( x_5 = \frac{40+45}{2} = 42,5 \) Частоты (число сборщиков) \( n_i \): 8, 18, 42, 20, 12. Общее число сборщиков (объем выборки): \[ n = \sum n_i = 8 + 18 + 42 + 20 + 12 = 100 \] 2. Вычислим выборочную среднюю \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{n} \] \[ \bar{x} = \frac{22,5 \cdot 8 + 27,5 \cdot 18 + 32,5 \cdot 42 + 37,5 \cdot 20 + 42,5 \cdot 12}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{180 + 495 + 1365 + 750 + 510}{100} = \frac{3300}{100} = 33 \text{ кг} \] 3. Вычислим выборочную дисперсию \( D_b \): \[ D_b = \frac{\sum x_i^2 \cdot n_i}{n} - (\bar{x})^2 \] \[ \sum x_i^2 \cdot n_i = 22,5^2 \cdot 8 + 27,5^2 \cdot 18 + 32,5^2 \cdot 42 + 37,5^2 \cdot 20 + 42,5^2 \cdot 12 \] \[ \sum x_i^2 \cdot n_i = 506,25 \cdot 8 + 756,25 \cdot 18 + 1056,25 \cdot 42 + 1406,25 \cdot 20 + 1806,25 \cdot 12 \] \[ \sum x_i^2 \cdot n_i = 4050 + 13612,5 + 44362,5 + 28125 + 21675 = 111825 \] \[ D_b = \frac{111825}{100} - 33^2 = 1118,25 - 1089 = 29,25 \] 4. Вычислим среднее квадратическое отклонение \( \sigma \): \[ \sigma = \sqrt{D_b} = \sqrt{29,25} \approx 5,41 \text{ кг} \] 5. Вычислим коэффициент вариации \( V \): \[ V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% \] \[ V = \frac{5,41}{33} \cdot 100\% \approx 16,39\% \] Ответ: Выборочная средняя: 33 кг. Дисперсия: 29,25. Среднее квадратическое отклонение: 5,41 кг. Коэффициент вариации: 16,39%.