Решение задачи: Ток в цепи конденсатора

Хорошо, давайте решим эти задачи по электротехнике. Задачи 1. Конденсатор емкостью \(C = 8,36\) мкФ включен на синусоидальное напряжение \(U = 380\) В частотой \(f = 50\) Гц. Определить ток в цепи конденсатора. Решение: Дано: Емкость конденсатора \(C = 8,36\) мкФ \( = 8,36 \cdot 10^{-6}\) Ф Напряжение \(U = 380\) В Частота \(f = 50\) Гц Найти: Ток \(I\) Для определения тока в цепи конденсатора сначала нужно найти его емкостное сопротивление \(X_C\). Формула для емкостного сопротивления: \[X_C = \frac{1}{2 \pi f C}\] Подставляем значения: \[X_C = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 8,36 \cdot 10^{-6}}\] \[X_C = \frac{1}{314 \cdot 8,36 \cdot 10^{-6}}\] \[X_C = \frac{1}{2625,04 \cdot 10^{-6}}\] \[X_C \approx 380,95\) Ом Теперь, зная емкостное сопротивление и напряжение, можно найти ток по закону Ома для цепи переменного тока: \[I = \frac{U}{X_C}\] Подставляем значения: \[I = \frac{380}{380,95}\] \[I \approx 0,997\) А Ответ: Ток в цепи конденсатора составляет примерно \(0,997\) А. 2. При включении конденсатора на синусоидальное напряжение \(U = 220\) В частотой \(f = 50\) Гц в цепи установился ток \(I = 0,5\) А. Какую емкость имеет конденсатор? Решение: Дано: Напряжение \(U = 220\) В Частота \(f = 50\) Гц Ток \(I = 0,5\) А Найти: Емкость \(C\) Сначала найдем емкостное сопротивление \(X_C\) по закону Ома: \[X_C = \frac{U}{I}\] Подставляем значения: \[X_C = \frac{220}{0,5}\] \[X_C = 440\) Ом Теперь, зная емкостное сопротивление, выразим емкость \(C\) из формулы для \(X_C\): \[X_C = \frac{1}{2 \pi f C}\] Отсюда: \[C = \frac{1}{2 \pi f X_C}\] Подставляем значения: \[C = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 440}\] \[C = \frac{1}{314 \cdot 440}\] \[C = \frac{1}{138160}\] \[C \approx 7,238 \cdot 10^{-6}\) Ф Переведем в микрофарады: \[C \approx 7,238\) мкФ Ответ: Емкость конденсатора составляет примерно \(7,238\) мкФ. 3. При включении разомкнутого на конце кабеля на напряжение \(U = 6600\) В частотой \(f = 50\) Гц в цепи установился ток \(I = 2\) А. Пренебрегая электрическим сопротивлением кабеля, определить приближенно емкость кабеля на 1 км его длины, если длина кабеля 10 км. Решение: Дано: Напряжение \(U = 6600\) В Частота \(f = 50\) Гц Ток \(I = 2\) А Длина кабеля \(L_{общ} = 10\) км Найти: Емкость кабеля на 1 км длины \(C_{1км}\) Поскольку кабель разомкнут на конце и его сопротивлением пренебрегаем, ток в цепи обусловлен только емкостью кабеля. Сначала найдем общее емкостное сопротивление кабеля \(X_{C_{общ}}\): \[X_{C_{общ}} = \frac{U}{I}\] Подставляем значения: \[X_{C_{общ}} = \frac{6600}{2}\] \[X_{C_{общ}} = 3300\) Ом Теперь найдем общую емкость кабеля \(C_{общ}\): \[C_{общ} = \frac{1}{2 \pi f X_{C_{общ}}}\] Подставляем значения: \[C_{общ} = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 3300}\] \[C_{общ} = \frac{1}{314 \cdot 3300}\] \[C_{общ} = \frac{1}{1036200}\] \[C_{общ} \approx 0,965 \cdot 10^{-6}\) Ф Переведем в микрофарады: \[C_{общ} \approx 0,965\) мкФ Теперь, чтобы найти емкость на 1 км длины, разделим общую емкость на общую длину кабеля: \[C_{1км} = \frac{C_{общ}}{L_{общ}}\] \[C_{1км} = \frac{0,965 \text{ мкФ}}{10 \text{ км}}\] \[C_{1км} = 0,0965\) мкФ/км Ответ: Приближенная емкость кабеля на 1 км его длины составляет \(0,0965\) мкФ/км. 4. Какая емкость батареи конденсаторов требуется для получения реактивной (емкостной) мощности 152 ВАР при напряжении \(U = 127\) В и частоте \(f = 50\) Гц. Решение: Дано: Реактивная мощность \(Q_C = 152\) ВАР Напряжение \(U = 127\) В Частота \(f = 50\) Гц Найти: Емкость \(C\) Формула для реактивной мощности конденсатора: \[Q_C = U^2 \cdot 2 \pi f C\] Из этой формулы выразим емкость \(C\): \[C = \frac{Q_C}{U^2 \cdot 2 \pi f}\] Подставляем значения: \[C = \frac{152}{127^2 \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot 50}\] \[C = \frac{152}{16129 \cdot 314}\] \[C = \frac{152}{5059606}\] \[C \approx 30,04 \cdot 10^{-6}\) Ф Переведем в микрофарады: \[C \approx 30,04\) мкФ Ответ: Требуемая емкость батареи конденсаторов составляет примерно \(30,04\) мкФ. 5. В катушке, включенной на переменное напряжение \(U = 12\) В частотой \(f = 50\) Гц и активным сопротивлением \(R = 2,8\) Ом установился ток \(I = 1,2\) А. Определить индуктивность катушки. Решение: Дано: Напряжение \(U = 12\) В Частота \(f = 50\) Гц Активное сопротивление \(R = 2,8\) Ом Ток \(I = 1,2\) А Найти: Индуктивность \(L\) Сначала найдем полное сопротивление (импеданс) катушки \(Z\) по закону Ома: \[Z = \frac{U}{I}\] Подставляем значения: \[Z = \frac{12}{1,2}\] \[Z = 10\) Ом Полное сопротивление катушки (последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений) выражается формулой: \[Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\] Где \(X_L\) - индуктивное сопротивление. Выразим \(X_L\): \[Z^2 = R^2 + X_L^2\] \[X_L^2 = Z^2 - R^2\] \[X_L = \sqrt{Z^2 - R^2}\] Подставляем значения: \[X_L = \sqrt{10^2 - 2,8^2}\] \[X_L = \sqrt{100 - 7,84}\] \[X_L = \sqrt{92,16}\] \[X_L = 9,6\) Ом Теперь, зная индуктивное сопротивление, найдем индуктивность \(L\). Формула для индуктивного сопротивления: \[X_L = 2 \pi f L\] Выразим \(L\): \[L = \frac{X_L}{2 \pi f}\] Подставляем значения: \[L = \frac{9,6}{2 \cdot 3,14 \cdot 50}\] \[L = \frac{9,6}{314}\] \[L \approx 0,03057\) Гн Переведем в миллигенри: \[L \approx 30,57\) мГн Ответ: Индуктивность катушки составляет примерно \(0,03057\) Гн или \(30,57\) мГн. 6. Катушка без стального сердечника включена на постоянное напряжение \(U_{пост} = 2,1\) В, ток которой равен \(I_{пост} = 0,3\) А. При включении этой же катушки на синусоидальное напряжение \(U_{перем} = 50\) Гц с действующим значением \(50\) В ток имеет действующее значение \(I_{перем} = 2\) А. Определить параметры катушки, активную и полную мощности. Решение: Дано: Постоянное напряжение \(U_{пост} = 2,1\) В Постоянный ток \(I_{пост} = 0,3\) А Переменное напряжение \(U_{перем} = 50\) В Частота \(f = 50\) Гц Переменный ток \(I_{перем} = 2\) А Найти: Параметры катушки (активное сопротивление \(R\), индуктивность \(L\)) Активная мощность \(P\) Полная мощность \(S\) 1. Определение активного сопротивления \(R\): При постоянном токе индуктивное сопротивление равно нулю, поэтому ток определяется только активным сопротивлением катушки. По закону Ома: \[R = \frac{U_{пост}}{I_{пост}}\] Подставляем значения: \[R = \frac{2,1}{0,3}\] \[R = 7\) Ом 2. Определение индуктивности \(L\): При переменном токе катушка имеет полное сопротивление (импеданс) \(Z\). \[Z = \frac{U_{перем}}{I_{перем}}\] Подставляем значения: \[Z = \frac{50}{2}\] \[Z = 25\) Ом Теперь, зная \(Z\) и \(R\), найдем индуктивное сопротивление \(X_L\): \[Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\] \[X_L^2 = Z^2 - R^2\] \[X_L = \sqrt{Z^2 - R^2}\] Подставляем значения: \[X_L = \sqrt{25^2 - 7^2}\] \[X_L = \sqrt{625 - 49}\] \[X_L = \sqrt{576}\] \[X_L = 24\) Ом Теперь найдем индуктивность \(L\) из формулы для \(X_L\): \[X_L = 2 \pi f L\] \[L = \frac{X_L}{2 \pi f}\] Подставляем значения: \[L = \frac{24}{2 \cdot 3,14 \cdot 50}\] \[L = \frac{24}{314}\] \[L \approx 0,0764\) Гн 3. Определение активной мощности \(P\): Активная мощность в цепи переменного тока определяется формулой: \[P = I_{перем}^2 \cdot R\] Подставляем значения: \[P = 2^2 \cdot 7\] \[P = 4 \cdot 7\] \[P = 28\) Вт 4. Определение полной мощности \(S\): Полная мощность в цепи переменного тока определяется формулой: \[S = U_{перем} \cdot I_{перем}\] Подставляем значения: \[S = 50 \cdot 2\] \[S = 100\) ВА Ответ: Параметры катушки: Активное сопротивление \(R = 7\) Ом. Индуктивность \(L \approx 0,0764\) Гн (или \(76,4\) мГн). Активная мощность \(P = 28\) Вт. Полная мощность \(S = 100\) ВА.