Решение задачи: Угол между векторами в ромбе

Дано: ромб \(ABCD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Короткая диагональ равна стороне ромба. Пусть это будет диагональ \(BD\), тогда \(BD = AB = BC = CD = DA\). Анализ фигуры: Так как \(AB = BD = AD\), треугольник \(ABD\) является равносторонним. Следовательно, все его углы равны \(60^\circ\). Углы ромба: \(\angle DAB = 60^\circ\), \(\angle ABC = 120^\circ\). Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом (\(90^\circ\)). Решение задач по пунктам: 1) Угол между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BD}\). Векторы исходят из одной точки \(B\). Угол между ними равен углу \(ABD\). В равностороннем треугольнике \(ABD\) этот угол равен \(60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\). 2) Угол между векторами \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\). Векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\) лежат на одной прямой (диагонали \(AC\)) и направлены в одну и ту же сторону (от \(A\) к \(C\)). Угол между сонаправленными векторами равен \(0^\circ\). Ответ: \(0^\circ\). 3) Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\). Чтобы найти угол, совместим начала векторов. Вектор \(\vec{CA}\) направлен противоположно вектору \(\vec{AC}\). Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен половине угла \(A\), то есть \(30^\circ\). Так как один из векторов направлен "навстречу", угол будет равен \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Ответ: \(150^\circ\). 4) Угол между векторами \(\vec{BD}\) и \(\vec{CB}\). Вектор \(\vec{CB}\) направлен от \(C\) к \(B\). Вектор \(\vec{BD}\) направлен от \(B\) к \(D\). Угол между стороной \(CB\) и диагональю \(BD\) в равностороннем треугольнике \(BCD\) равен \(60^\circ\). Поскольку векторы идут "друг за другом", угол между ними равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Ответ: \(120^\circ\). 5) Угол между векторами \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\). Диагонали ромба перпендикулярны друг другу. Следовательно, угол между векторами, лежащими на диагоналях и исходящими из точки их пересечения, равен \(90^\circ\). Ответ: \(90^\circ\).