Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе

Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный (\(\angle B = 90^\circ\)) \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\), согласно отметкам на чертеже) \(AC = 20\) — гипотенуза Найти: \(S_{ABC}\) — площадь треугольника Решение: 1) Пусть катеты треугольника \(AB = BC = x\). По теореме Пифагора: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] \[ x^2 + x^2 = 20^2 \] \[ 2x^2 = 400 \] \[ x^2 = 200 \] 2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} x^2 \] 3) Подставим значение \(x^2\), найденное в первом пункте: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 200 = 100 \] Альтернативный способ: В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \[ h = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10 = 100 \] Ответ: 100.