Решение задачи: Площадь треугольника APK в ромбе MNPK

Дано: \(MNPK\) — ромб \(MP = 14\) см — диагональ \(NK = 9\) см — диагональ \(A \in MP\) \(MA : AP = 2 : 5\) Найти: \(S_{APK}\) — площадь треугольника Решение: 1) Диагонали ромба перпендикулярны (\(MP \perp NK\)). Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Отрезок \(KO\) является высотой треугольника \(APK\), так как он лежит на диагонали \(NK\) и перпендикулярен прямой \(MP\), на которой лежит основание \(AP\). 2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Найдём длину высоты \(KO\): \[ KO = \frac{NK}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ (см)} \] 3) Найдём длину основания \(AP\). По условию \(MP = 14\) см и делится точкой \(A\) в отношении \(2 : 5\). Всего частей: \(2 + 5 = 7\). Длина одной части: \(14 : 7 = 2\) см. Тогда отрезок \(AP\) (составляющий 5 частей): \[ AP = 5 \cdot 2 = 10 \text{ (см)} \] 4) Вычислим площадь треугольника \(APK\): \[ S_{APK} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot KO \] \[ S_{APK} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4,5 \] \[ S_{APK} = 5 \cdot 4,5 = 22,5 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: 22,5.