Площадь и угол между высотами параллелограмма: решение задачи

Площадь и угол между высотами параллелограмма Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(BH = 2\) — высота к стороне \(AD\); \(BK = 3\) — высота к стороне \(CD\); \(\angle HBK = 30^\circ\) — угол между высотами. Найти: \(S\) (площадь параллелограмма). Решение: 1. В выпуклом четырехугольнике \(HDKB\) углы при вершинах \(H\) и \(K\) прямые (так как \(BH\) и \(BK\) — высоты). Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\). Следовательно: \[\angle D = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle HBK\] \[\angle D = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\] 2. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Найдем острый угол \(A\): \[\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] (Заметим, что угол между высотами параллелограмма равен его острому углу). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). В нем катет \(BH = 2\) лежит против угла \(A = 30^\circ\). По свойству такого катета, гипотенуза \(AB\) в два раза больше него: \[AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 2 = 4\] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CBK\) (\(\angle K = 90^\circ\)). Угол \(C\) равен углу \(A\) как противоположный угол параллелограмма, то есть \(\angle C = 30^\circ\). Катет \(BK = 3\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит гипотенуза \(BC\) равна: \[BC = 2 \cdot BK = 2 \cdot 3 = 6\] 5. Теперь найдем площадь параллелограмма через две стороны и синус угла между ними: \[S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle A)\] \[S = 4 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)\] \[S = 24 \cdot 0,5 = 12\] Ответ: 12.