Решение системы уравнений методом подстановки

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа по теме «Системы уравнений» В.2 №1. Решите систему уравнений методом подстановки \[ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 4 \\ x + y = 6 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения выразим \(x\): \(x = 6 - y\) Подставим это выражение в первое уравнение: \((6 - y)^2 - 3y^2 = 4\) Раскроем скобки: \(36 - 12y + y^2 - 3y^2 = 4\) Приведем подобные члены: \(-2y^2 - 12y + 36 - 4 = 0\) \(-2y^2 - 12y + 32 = 0\) Разделим все члены на \(-2\): \(y^2 + 6y - 16 = 0\) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\) \(\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10\) Найдем значения \(y\): \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\) \(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8\) Теперь найдем соответствующие значения \(x\) для каждого \(y\): Если \(y_1 = 2\): \(x_1 = 6 - y_1 = 6 - 2 = 4\) Первая пара решений: \((4; 2)\) Если \(y_2 = -8\): \(x_2 = 6 - y_2 = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14\) Вторая пара решений: \((14; -8)\) Ответ: \((4; 2)\), \((14; -8)\). №2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения \[ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = -4 \\ x^2 + 2y^2 = 12 \end{cases} \] Решение: Сложим два уравнения: \((x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12\) \(x^2 - 2y^2 + x^2 + 2y^2 = 8\) \(2x^2 = 8\) \(x^2 = \frac{8}{2}\) \(x^2 = 4\) Найдем значения \(x\): \(x_1 = \sqrt{4} = 2\) \(x_2 = -\sqrt{4} = -2\) Теперь подставим значения \(x\) в любое из исходных уравнений, например, во второе: Если \(x_1 = 2\): \(2^2 + 2y^2 = 12\) \(4 + 2y^2 = 12\) \(2y^2 = 12 - 4\) \(2y^2 = 8\) \(y^2 = \frac{8}{2}\) \(y^2 = 4\) Найдем значения \(y\): \(y_1 = \sqrt{4} = 2\) \(y_2 = -\sqrt{4} = -2\) Получаем две пары решений: \((2; 2)\) и \((2; -2)\). Если \(x_2 = -2\): \((-2)^2 + 2y^2 = 12\) \(4 + 2y^2 = 12\) \(2y^2 = 12 - 4\) \(2y^2 = 8\) \(y^2 = 4\) Найдем значения \(y\): \(y_3 = \sqrt{4} = 2\) \(y_4 = -\sqrt{4} = -2\) Получаем еще две пары решений: \((-2; 2)\) и \((-2; -2)\). Ответ: \((2; 2)\), \((2; -2)\), \((-2; 2)\), \((-2; -2)\). №3. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x + y = 10 \\ x + 3y = -3 \end{cases} \] Решение: Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 10 - 4x\) Подставим это выражение во второе уравнение: \(x + 3(10 - 4x) = -3\) Раскроем скобки: \(x + 30 - 12x = -3\) Приведем подобные члены: \(-11x + 30 = -3\) \(-11x = -3 - 30\) \(-11x = -33\) \(x = \frac{-33}{-11}\) \(x = 3\) Теперь найдем значение \(y\), подставив \(x = 3\) в выражение для \(y\): \(y = 10 - 4 \cdot 3\) \(y = 10 - 12\) \(y = -2\) Ответ: \((3; -2)\). №4. Площадь прямоугольника равна \(36 \text{см}^2\), а его периметр – \(24 \text{см}\). Найдите стороны прямоугольника. Решение: Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\). Периметр прямоугольника \(P = 2(a + b)\). По условию задачи: \(a \cdot b = 36\) \(2(a + b) = 24\) Из второго уравнения найдем сумму сторон: \(a + b = \frac{24}{2}\) \(a + b = 12\) Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a \cdot b = 36 \\ a + b = 12 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(a\): \(a = 12 - b\) Подставим это выражение в первое уравнение: \((12 - b) \cdot b = 36\) Раскроем скобки: \(12b - b^2 = 36\) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(b^2 - 12b + 36 = 0\) Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта или заметить, что это полный квадрат: \((b - 6)^2 = 0\) Отсюда: \(b - 6 = 0\) \(b = 6\) Теперь найдем значение \(a\): \(a = 12 - b = 12 - 6 = 6\) Таким образом, стороны прямоугольника равны \(6 \text{ см}\) и \(6 \text{ см}\). Это означает, что прямоугольник является квадратом. Ответ: Стороны прямоугольника равны \(6 \text{ см}\) и \(6 \text{ см}\). №5. Периметр прямоугольного треугольника равен \(48 \text{ см}\), его гипотенуза равна \(20 \text{ см}\). Найдите катеты данного прямоугольного треугольника. Решение: Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\). По условию задачи: Периметр \(P = a + b + c = 48 \text{ см}\) Гипотенуза \(c = 20 \text{ см}\) Подставим значение \(c\) в формулу периметра: \(a + b + 20 = 48\) \(a + b = 48 - 20\) \(a + b = 28\) Для прямоугольного треугольника также действует теорема Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\) Подставим значение \(c\): \(a^2 + b^2 = 20^2\) \(a^2 + b^2 = 400\) Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 28 \\ a^2 + b^2 = 400 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \(a\): \(a = 28 - b\) Подставим это выражение во второе уравнение: \((28 - b)^2 + b^2 = 400\) Раскроем скобки: \(28^2 - 2 \cdot 28 \cdot b + b^2 + b^2 = 400\) \(784 - 56b + 2b^2 = 400\) Перенесем все члены в одну сторону: \(2b^2 - 56b + 784 - 400 = 0\) \(2b^2 - 56b + 384 = 0\) Разделим все члены на \(2\): \(b^2 - 28b + 192 = 0\) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16\) \(\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4\) Найдем значения \(b\): \(b_1 = \frac{-(-28) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16\) \(b_2 = \frac{-(-28) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12\) Теперь найдем соответствующие значения \(a\): Если \(b_1 = 16\): \(a_1 = 28 - b_1 = 28 - 16 = 12\) Если \(b_2 = 12\): \(a_2 = 28 - b_2 = 28 - 12 = 16\) В обоих случаях катеты равны \(12 \text{ см}\) и \(16 \text{ см}\). Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны \(12 \text{ см}\) и \(16 \text{ см}\).