Решение задачи по статистике: анализ данных call-центра «Омега»

Вариант 1. Решение заданий по статистике. Задание 1. Анализ данных call-центра «Омега» (n=20). Для расчетов используем середины интервалов звонков (\(x_i\)): 2 (для 1-3), 4 (для 3-5), 6 (для 5-7), 8 (для 7-9). Частоты (\(f_i\)): 3, 8, 7, 2. Сумма частот \(n = 20\). 1) Выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n} = \frac{2 \cdot 3 + 4 \cdot 8 + 6 \cdot 7 + 8 \cdot 2}{20} = \frac{6 + 32 + 42 + 16}{20} = \frac{96}{20} = 4,8 \] 2) Мода (\(Mo\)): Модальный интервал — 3-5 (наибольшая частота 8). \[ Mo = x_{mo} + h \cdot \frac{f_{mo} - f_{mo-1}}{(f_{mo} - f_{mo-1}) + (f_{mo} - f_{mo+1})} = 3 + 2 \cdot \frac{8 - 3}{(8 - 3) + (8 - 7)} = 3 + 2 \cdot \frac{5}{6} \approx 4,67 \] 3) Медиана (\(Me\)): Медианный интервал — 3-5 (накопленная частота достигает половины выборки). \[ Me = x_{me} + h \cdot \frac{0,5n - S_{me-1}}{f_{me}} = 3 + 2 \cdot \frac{10 - 3}{8} = 3 + 1,75 = 4,75 \] 4) Дисперсия (\(s^2\)): \[ s^2 = \frac{\sum x_i^2 f_i}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 \cdot 3 + 4^2 \cdot 8 + 6^2 \cdot 7 + 8^2 \cdot 2}{20} - 4,8^2 = \frac{12 + 128 + 252 + 128}{20} - 23,04 = 26 - 23,04 = 2,96 \] Среднеквадратичное отклонение: \(s = \sqrt{2,96} \approx 1,72\). 5) Асимметрия (\(As\)) и Эксцесс (\(Ex\)): Для их вычисления нужны центральные моменты 3-го и 4-го порядков. \[ \mu_3 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3 f_i}{n} \approx 1,536; \quad As = \frac{\mu_3}{s^3} \approx \frac{1,536}{5,09} \approx 0,3 \] \[ \mu_4 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4 f_i}{n} \approx 19,5; \quad Ex = \frac{\mu_4}{s^4} - 3 \approx \frac{19,5}{8,76} - 3 \approx -0,77 \] Вывод: Распределение умеренно асимметрично вправо и является плосковершинным. Задание 4. Корреляционно-регрессионный анализ. Данные: X (стаж): 2, 6, 12, 8, 18, 10, 5, 15 Y (звонки): 4, 7, 10, 8, 12, 9, 6, 10 Количество пар \(n = 8\). а) Коэффициент корреляции Пирсона (\(r_{xy}\)): Суммы: \(\sum X = 76\), \(\sum Y = 66\), \(\sum X^2 = 922\), \(\sum Y^2 = 590\), \(\sum XY = 719\). \[ r_{xy} = \frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{[n \sum X^2 - (\sum X)^2][n \sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \] \[ r_{xy} = \frac{8 \cdot 719 - 76 \cdot 66}{\sqrt{[8 \cdot 922 - 76^2][8 \cdot 590 - 66^2]}} = \frac{5752 - 5016}{\sqrt{[7376 - 5776][4720 - 4356]}} = \frac{736}{\sqrt{1600 \cdot 364}} \approx \frac{736}{763,15} \approx 0,964 \] Вывод: Связь между стажем и количеством звонков весьма высокая и прямая. б) Уравнение линейной регрессии \(Y = a + bX\): \[ b = \frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{n \sum X^2 - (\sum X)^2} = \frac{736}{1600} = 0,46 \] \[ a = \bar{y} - b\bar{x} = \frac{66}{8} - 0,46 \cdot \frac{76}{8} = 8,25 - 4,37 = 3,88 \] Уравнение: \(Y = 3,88 + 0,46X\). в) Прогноз для \(X = 9\): \[ Y(9) = 3,88 + 0,46 \cdot 9 = 3,88 + 4,14 = 8,02 \] Вывод: При стаже 9 месяцев можно прогнозировать примерно 8 звонков в час.