Вариант 2
1. Начертите вектор \( \vec{x} \), абсолютная величина которого равна 2 см. Постройте векторы \( 3\vec{x} \), \( -2\vec{x} \), \( \frac{1}{2}\vec{x} \).
Решение:
Для выполнения этого задания нам понадобится линейка и карандаш.
Шаг 1: Начертим вектор \( \vec{x} \).
Вектор \( \vec{x} \) — это направленный отрезок. Его абсолютная величина (длина) равна 2 см. Начертим отрезок длиной 2 см и поставим на одном из его концов стрелку, указывающую направление. Направление можно выбрать произвольно, например, вправо.
(Здесь должен быть рисунок: горизонтальный отрезок длиной 2 см со стрелкой на правом конце. Над отрезком или рядом с ним подпись: \( \vec{x} \))
Шаг 2: Построим вектор \( 3\vec{x} \).
Вектор \( 3\vec{x} \) имеет то же направление, что и вектор \( \vec{x} \), но его длина в 3 раза больше. Длина вектора \( 3\vec{x} \) будет \( 3 \times 2 \text{ см} = 6 \text{ см} \).
Начертим отрезок длиной 6 см в том же направлении, что и \( \vec{x} \), и поставим стрелку.
(Здесь должен быть рисунок: горизонтальный отрезок длиной 6 см со стрелкой на правом конце. Над отрезком или рядом с ним подпись: \( 3\vec{x} \))
Шаг 3: Построим вектор \( -2\vec{x} \).
Вектор \( -2\vec{x} \) имеет противоположное направление по отношению к вектору \( \vec{x} \), а его длина в 2 раза больше. Длина вектора \( -2\vec{x} \) будет \( 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \).
Начертим отрезок длиной 4 см в направлении, противоположном \( \vec{x} \), и поставим стрелку.
(Здесь должен быть рисунок: горизонтальный отрезок длиной 4 см со стрелкой на левом конце. Над отрезком или рядом с ним подпись: \( -2\vec{x} \))
Шаг 4: Построим вектор \( \frac{1}{2}\vec{x} \).
Вектор \( \frac{1}{2}\vec{x} \) имеет то же направление, что и вектор \( \vec{x} \), но его длина в 2 раза меньше. Длина вектора \( \frac{1}{2}\vec{x} \) будет \( \frac{1}{2} \times 2 \text{ см} = 1 \text{ см} \).
Начертим отрезок длиной 1 см в том же направлении, что и \( \vec{x} \), и поставим стрелку.
(Здесь должен быть рисунок: горизонтальный отрезок длиной 1 см со стрелкой на правом конце. Над отрезком или рядом с ним подпись: \( \frac{1}{2}\vec{x} \))
2. Начертите два неколлинеарных вектора \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \) так, что \( |\vec{x}| = 3 \text{ см} \), \( |\vec{y}| = 4 \text{ см} \). Постройте вектор \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \).
Решение:
Шаг 1: Начертим неколлинеарные векторы \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \).
Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Начертим вектор \( \vec{x} \) длиной 3 см и вектор \( \vec{y} \) длиной 4 см так, чтобы они не были параллельны. Например, можно начертить их под углом друг к другу, исходящими из одной точки.
(Здесь должен быть рисунок: из одной точки выходят два вектора. Один, например, горизонтально вправо, длиной 3 см, с подписью \( \vec{x} \). Другой, например, под углом вверх-вправо, длиной 4 см, с подписью \( \vec{y} \). Угол между ними должен быть не 0 и не 180 градусов.)
Шаг 2: Построим вектор \( \frac{1}{2}\vec{y} \).
Вектор \( \frac{1}{2}\vec{y} \) имеет то же направление, что и \( \vec{y} \), а его длина в 2 раза меньше. Длина \( \frac{1}{2}\vec{y} \) будет \( \frac{1}{2} \times 4 \text{ см} = 2 \text{ см} \).
Начертим этот вектор, исходящий из той же начальной точки, что и \( \vec{y} \), или отдельно.
(Здесь должен быть рисунок: вектор, направленный так же, как \( \vec{y} \), но длиной 2 см, с подписью \( \frac{1}{2}\vec{y} \))
Шаг 3: Построим вектор \( -\frac{1}{3}\vec{x} \).
Вектор \( -\frac{1}{3}\vec{x} \) имеет противоположное направление по отношению к \( \vec{x} \), а его длина в 3 раза меньше. Длина \( -\frac{1}{3}\vec{x} \) будет \( \frac{1}{3} \times 3 \text{ см} = 1 \text{ см} \).
Начертим этот вектор, направленный противоположно \( \vec{x} \).
(Здесь должен быть рисунок: вектор, направленный противоположно \( \vec{x} \), но длиной 1 см, с подписью \( -\frac{1}{3}\vec{x} \))
Шаг 4: Построим сумму векторов \( \frac{1}{2}\vec{y} + (-\frac{1}{3}\vec{x}) \), то есть \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \).
Для сложения векторов можно использовать правило треугольника или правило параллелограмма.
Способ 1: Правило треугольника.
Отложим вектор \( \frac{1}{2}\vec{y} \) от некоторой начальной точки. Затем от конца вектора \( \frac{1}{2}\vec{y} \) отложим вектор \( -\frac{1}{3}\vec{x} \). Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, будет искомым вектором \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \).
(Здесь должен быть рисунок:
1. Начертить начальную точку О. 2. От точки О начертить вектор \( \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{y} \) (длиной 2 см, в направлении \( \vec{y} \)). 3. От точки А начертить вектор \( \vec{AB} = -\frac{1}{3}\vec{x} \) (длиной 1 см, в направлении, противоположном \( \vec{x} \)). 4. Соединить точку О с точкой В. Вектор \( \vec{OB} \) будет искомым вектором \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \). Над вектором \( \vec{OB} \) или рядом с ним подпись: \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \))Способ 2: Правило параллелограмма (если векторы исходят из одной точки).
Отложим векторы \( \frac{1}{2}\vec{y} \) и \( -\frac{1}{3}\vec{x} \) из одной начальной точки. Достроим до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, исходящая из той же начальной точки, будет суммой этих векторов.
(Здесь должен быть рисунок:
1. Начертить начальную точку О. 2. От точки О начертить вектор \( \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{y} \) (длиной 2 см, в направлении \( \vec{y} \)). 3. От точки О начертить вектор \( \vec{OC} = -\frac{1}{3}\vec{x} \) (длиной 1 см, в направлении, противоположном \( \vec{x} \)). 4. Из точки А провести линию, параллельную \( \vec{OC} \), и равную ей по длине. 5. Из точки С провести линию, параллельную \( \vec{OA} \), и равную ей по длине. 6. Точка пересечения этих линий будет точкой В. 7. Соединить точку О с точкой В. Вектор \( \vec{OB} \) будет искомым вектором \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \). Над вектором \( \vec{OB} \) или рядом с ним подпись: \( \frac{1}{2}\vec{y} - \frac{1}{3}\vec{x} \))