Решение задачи: Равнобедренная трапеция (углы, стороны, периметр)

Дано: Равнобедренная трапеция \(ABCD\). \(BC = 25\) (меньшее основание). \(AD = 35\) (большее основание). \(\angle B = 120^{\circ}\). Найти: 1) \(\angle A\). 2) Длину боковой стороны \(AB\). 3) Периметр трапеции \(P\). Решение: 1) Найдем угол \(A\). Так как основания трапеции параллельны (\(BC \parallel AD\)), то сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^{\circ}\). \[ \angle A + \angle B = 180^{\circ} \] \[ \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \] 2) Найдем длину боковой стороны. Проведем высоту \(BH\) из вершины \(B\) к основанию \(AD\). В равнобедренной трапеции отрезок \(AH\) вычисляется по формуле: \[ AH = \frac{AD - BC}{2} \] \[ AH = \frac{35 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle H = 90^{\circ}\)). В нем \(\angle A = 60^{\circ}\), тогда \(\angle ABH = 30^{\circ}\). По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы. Следовательно: \[ AH = \frac{1}{2} AB \] \[ AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10 \] Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \(AB = CD = 10\). 3) Найдем периметр трапеции. Периметр — это сумма длин всех сторон: \[ P = AB + BC + CD + AD \] \[ P = 10 + 25 + 10 + 35 = 80 \] Ответы: Угол \(A\) равен \(60^{\circ}\). Длина боковой стороны равна \(10\). Периметр трапеции равен \(80\).