Решение задачи: Найти высоту и площадь трапеции

Дано: Трапеция \(ABCD\). Основания: \(AD = 12\) см, \(BC = 9\) см. Углы: \(\angle A = 45^{\circ}\), \(\angle D = 90^{\circ}\). Найти: 1) Длину высоты трапеции. 2) Площадь трапеции \(S\). Решение: 1) Найдем длину высоты. Так как \(\angle D = 90^{\circ}\) и \(BC \parallel AD\), то сторона \(CD\) перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Обозначим высоту \(h = CD\). Проведем вторую высоту \(BH\) из вершины \(B\) к основанию \(AD\). Четырехугольник \(HBCD\) является прямоугольником (так как все его углы прямые), значит \(HD = BC = 9\) см и \(BH = CD = h\). Найдем отрезок \(AH\): \[ AH = AD - HD = 12 - 9 = 3 \text{ см} \] Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle H = 90^{\circ}\)). По условию \(\angle A = 45^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), значит: \[ \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \] Так как два угла треугольника равны (\(\angle A = \angle ABH = 45^{\circ}\)), треугольник \(ABH\) — равнобедренный. Следовательно, его катеты равны: \[ BH = AH = 3 \text{ см} \] Так как \(BH\) — высота, то высота трапеции равна \(3\) см. 2) Найдем площадь трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{12 + 9}{2} \cdot 3 \] \[ S = \frac{21}{2} \cdot 3 = 10,5 \cdot 3 = 31,5 \text{ см}^2 \] Ответы: Длина высоты трапеции равна \(3\) см. Площадь трапеции равна \(31,5\) см\(^2\).