Решение задачи №5: Автомат и двоичная система

Задача №5 Условие: Автомат обрабатывает натуральное число \(N\) по алгоритму: 1. К десятичной записи справа приписывается последняя цифра числа \(N\). 2. Число переводится в двоичную систему. 3. Справа дописывается бит четности (1, если единиц нечетно, и 0, если четно). 4. Результат переводится в десятичную систему. Нужно найти минимальное \(N\), чтобы результат был больше 207. Решение: Пусть искомый результат \(R > 207\). Рассмотрим ближайшее к 207 число — 208. 1. Переведем \(R = 208\) в двоичную систему: \[208_{10} = 11010000_2\] 2. Согласно алгоритму, последний бит — это бит четности. В числе \(1101000\) три единицы (нечетное количество), значит бит четности должен быть 1. Но у нас в конце 0. Значит, число 208 не могло получиться. 3. Рассмотрим следующее число \(R = 209\): \[209_{10} = 11010001_2\] Проверим бит четности: в основной части \(1101000\) три единицы. Бит четности должен быть 1. Здесь он 1. Условие выполняется. 4. Теперь найдем число до приписывания бита четности: \[1101000_2 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 64 + 32 + 8 = 104_{10}\] 5. По алгоритму, это число получилось приписыванием последней цифры к числу \(N\). То есть \(104\) — это число \(N\) с приписанной справа его последней цифрой. Если \(N = 10\), то приписываем последнюю цифру 0, получаем 100 (не подходит, так как нам нужно 104). Если \(N = 11\), то приписываем 1, получаем 111 (не подходит). 6. Вернемся к шагу 3 и попробуем найти такое \(R > 207\), которое при обратном преобразовании даст корректное число с приписанной цифрой. Пусть \(R = 210_{10} = 11010010_2\). Бит четности 0. В части \(1101001\) четыре единицы, бит должен быть 0. Подходит. Число без бита: \(1101001_2 = 105_{10}\). Если \(N = 10\), приписываем 0, получаем 100. Если \(N = 11\), приписываем 1, получаем 111. Не подходит. 7. Проверим \(R = 214_{10} = 11010110_2\). Бит четности 0. В части \(1101011\) пять единиц, бит должен быть 1. Не подходит. 8. Проверим \(R = 215_{10} = 11010111_2\). Бит четности 1. В части \(1101011\) пять единиц, бит 1. Подходит. Число без бита: \(1101011_2 = 107_{10}\). Если \(N = 10\), приписываем 0, получаем 100. Если \(N = 11\), приписываем 1, получаем 111. Не подходит. 9. Заметим закономерность: число после шага 1 должно оканчиваться на ту же цифру, что и само \(N\). Попробуем \(N = 10\). Шаг 1: 100. Шаг 2: \(100_{10} = 1100100_2\). Шаг 3: единиц три (нечетно), дописываем 1. Получаем \(11001001_2 = 201\). (Мало, \(201 < 207\)). 10. Попробуем \(N = 11\). Шаг 1: 111. Шаг 2: \(111_{10} = 1101111_2\). Шаг 3: единиц шесть (четно), дописываем 0. Получаем \(11011110_2 = 222\). Число \(222 > 207\). Это значение \(N\) нам подходит. Проверим, нет ли меньшего \(N\). Мы проверили \(N=10\), результат 201. Значит, \(N=11\) — минимальное. Ответ: 11