Решение Задачи №5: Алгоритм Автомата и Условие N > 207

Задание №5 Условие: Автомат обрабатывает число \(N\) по алгоритму: 1. К \(N\) справа приписывается его последняя цифра. Получаем число \(N_{1}\). 2. \(N_{1}\) переводится в двоичную систему. 3. Дописывается бит четности (1, если единиц нечетно, и 0, если четно). 4. Результат переводится в десятичную систему. Нужно найти минимальное \(N\), чтобы результат был больше 207. Решение: Пусть искомый результат \(R > 207\). Рассмотрим ближайшее число \(R = 208\). 1. Переведем \(R = 208\) в двоичную систему: \[208_{10} = 11010000_{2}\] 2. Согласно алгоритму, последний бит — это бит четности. В числе \(11010000_{2}\) три единицы (нечетное количество). Значит, бит четности должен быть равен 1. Но у нас в конце 0. Значит, число 208 не могло получиться. 3. Рассмотрим следующее число \(R = 209\): \[209_{10} = 11010001_{2}\] Здесь последний бит равен 1. Проверим количество единиц в предыдущих разрядах: в числе \(1101000_{2}\) три единицы. Бит четности для нечетного количества единиц равен 1. Это совпадает. 4. Теперь найдем число \(N_{1}\), которое было до добавления бита четности: \[N_{1} = 1101000_{2} = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 64 + 32 + 8 = 104\] 5. По алгоритму \(N_{1}\) получается приписыванием последней цифры числа \(N\) к самому числу \(N\). Если \(N_{1} = 104\), то последняя цифра \(N\) должна быть 4, а само число перед ней — 10. Проверим: если \(N = 10\), то приписываем последнюю цифру (4 — это ошибка в логике подбора, так как последняя цифра числа 10 это 0). Если \(N = 10\), то \(N_{1} = 100\). Если \(N = 11\), то \(N_{1} = 111\). Нам нужно получить \(N_{1} = 104\). Это невозможно, так как у числа 10 последняя цифра 0 (будет 100), а у числа 11 последняя цифра 1 (будет 111). 6. Ищем \(R\) дальше. Попробуем \(R = 210\): \[210_{10} = 11010010_{2}\] Количество единиц в \(1101001_{2}\) равно 4 (четное). Бит четности должен быть 0. Совпадает. \(N_{1} = 1101001_{2} = 64 + 32 + 8 + 1 = 105\). Если \(N = 10\), последняя цифра 0, \(N_{1} = 100\). Если \(N = 11\), последняя цифра 1, \(N_{1} = 111\). Опять не подходит. 7. Попробуем найти такое \(N_{1}\), которое оканчивается на свою последнюю цифру. Ближайшие подходящие \(N_{1}\) это 111, 122, 133 и т.д. Если \(N_{1} = 111\), то \(N = 11\). Переведем \(N_{1} = 111\) в двоичную систему: \[111_{10} = 1101111_{2}\] Количество единиц: 5 (нечетное). Бит четности: 1. Результат \(R = 11011111_{2} = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 223\). Это число больше 207. 8. Проверим, нет ли \(N\) меньше 11. Если \(N = 10\), то \(N_{1} = 100\). \[100_{10} = 1100100_{2}\] Количество единиц: 3 (нечетное). Бит четности: 1. \(R = 11001001_{2} = 128 + 64 + 8 + 1 = 201\). \(201 < 207\), не подходит. Следовательно, минимальное \(N = 11\). Ответ: 11