Решение задачи: Найти меньшее основание равнобедренной трапеции

Дано: Трапеция \(ABCD\) — равнобедренная (\(AB = CD\)). Боковая сторона \(AB = \sqrt{17}\). Диагональ \(AC = 4\sqrt{5}\). Средняя линия \(m = 8\). Найти: меньшее основание \(BC\). Решение: 1. Пусть \(AD = a\) — большее основание, \(BC = b\) — меньшее основание. По определению средней линии: \[m = \frac{a + b}{2} = 8 \implies a + b = 16\] 2. Проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). В равнобедренной трапеции отрезок \(AH\) равен средней линии, а отрезок \(HD\) равен полуразности оснований: \[AH = \frac{a + b}{2} = 8\] \[HD = \frac{a - b}{2}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). По теореме Пифагора найдем высоту \(CH\): \[CH^2 = AC^2 - AH^2\] \[CH^2 = (4\sqrt{5})^2 - 8^2 = 16 \cdot 5 - 64 = 80 - 64 = 16\] \[CH = \sqrt{16} = 4\] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). По теореме Пифагора найдем отрезок \(HD\): \[HD^2 = CD^2 - CH^2\] Так как трапеция равнобедренная, \(CD = AB = \sqrt{17}\). \[HD^2 = (\sqrt{17})^2 - 4^2 = 17 - 16 = 1\] \[HD = \sqrt{1} = 1\] 5. Используем формулу для \(HD\): \[\frac{a - b}{2} = 1 \implies a - b = 2\] 6. Составим систему уравнений из полученных данных: \[ \begin{cases} a + b = 16 \\ a - b = 2 \end{cases} \] Вычтем из первого уравнения второе: \[(a + b) - (a - b) = 16 - 2\] \[2b = 14\] \[b = 7\] Ответ: меньшее основание равно 7.