Решение: График функции и прямая y=m

Задание: Постройте график функции и найдите значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки. Решение: Функция задана тремя выражениями на разных промежутках: \[ y = \begin{cases} -x + 1, & \text{при } x \leqslant 1 \\ 1,5x - 1,5, & \text{при } 1 < x \leqslant 4 \\ -2,25x + 13,5, & \text{при } x > 4 \end{cases} \] 1. Построим график на каждом промежутке: а) При \( x \leqslant 1 \) график — луч прямой \( y = -x + 1 \). Возьмем точки: Если \( x = 1 \), то \( y = -1 + 1 = 0 \). Точка (1; 0). Если \( x = 0 \), то \( y = 0 + 1 = 1 \). Точка (0; 1). б) При \( 1 < x \leqslant 4 \) график — отрезок прямой \( y = 1,5x - 1,5 \). Возьмем точки: Если \( x = 1 \), то \( y = 1,5 \cdot 1 - 1,5 = 0 \). Точка (1; 0) — совпадает с концом первого луча. Если \( x = 4 \), то \( y = 1,5 \cdot 4 - 1,5 = 6 - 1,5 = 4,5 \). Точка (4; 4,5). в) При \( x > 4 \) график — луч прямой \( y = -2,25x + 13,5 \). Возьмем точки: Если \( x = 4 \), то \( y = -2,25 \cdot 4 + 13,5 = -9 + 13,5 = 4,5 \). Точка (4; 4,5) — совпадает с концом второго отрезка. Если \( x = 6 \), то \( y = -2,25 \cdot 6 + 13,5 = -13,5 + 13,5 = 0 \). Точка (6; 0). 2. Анализ количества общих точек с прямой \( y = m \): Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Будем мысленно перемещать её снизу вверх: - При \( m < 0 \): прямая пересекает два луча (уходящих в бесконечность вниз), значит 2 точки. - При \( m = 0 \): прямая проходит через точки (1; 0) и (6; 0), значит 2 точки. - При \( 0 < m < 4,5 \): прямая пересекает график в трех местах (левый луч, средний отрезок, правый луч), значит 3 точки. - При \( m = 4,5 \): прямая проходит через вершину (4; 4,5) и пересекает левый луч, значит 2 точки. - При \( m > 4,5 \): прямая пересекает только левый луч, значит 1 точка. Вывод: Ровно две общие точки график имеет при \( m \leqslant 0 \) и при \( m = 4,5 \). Ответ: \( m \leqslant 0 \); \( m = 4,5 \).