Решение экономической задачи на окупаемость

Задача Дано: Затраты на производство: \( 0,25x^2 + 4x \) млн руб. Затраты на доставку: \( x + 12 \) млн руб. Цена за единицу товара: \( p \) тыс. руб. Объем продукции: \( x \) тыс. ед. Выручка: \( p \cdot x \) млн руб. Стоимость строительства: 120 млн руб. Срок окупаемости: не более 5 лет. \( p \) — целое число. Найти: наименьшее \( p \). Решение: 1. Составим выражение для ежегодной прибыли завода \( f(x) \). Прибыль — это разность между выручкой и суммарными затратами: \[ f(x) = px - (0,25x^2 + 4x + x + 12) \] \[ f(x) = -0,25x^2 + (p - 5)x - 12 \] 2. Чтобы завод окупился за 5 лет, суммарная прибыль за этот период должна быть не меньше стоимости строительства: \[ 5 \cdot f(x) \ge 120 \] \[ f(x) \ge 24 \] 3. Подставим выражение для прибыли в неравенство: \[ -0,25x^2 + (p - 5)x - 12 \ge 24 \] \[ -0,25x^2 + (p - 5)x - 36 \ge 0 \] Умножим на -4, чтобы избавиться от дроби (знак неравенства меняется): \[ x^2 - 4(p - 5)x + 144 \le 0 \] 4. Для того чтобы это квадратное неравенство имело решения (то есть существовало такое количество продукции \( x \), при котором условие выполняется), дискриминант соответствующего квадратного уравнения должен быть неотрицательным: \[ D = [4(p - 5)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 \ge 0 \] \[ 16(p - 5)^2 - 576 \ge 0 \] Разделим на 16: \[ (p - 5)^2 - 36 \ge 0 \] \[ (p - 5)^2 \ge 36 \] 5. Решим полученное неравенство относительно \( p \): Так как цена \( p \) — положительное число, рассматриваем случай: \[ p - 5 \ge 6 \] \[ p \ge 11 \] 6. Проверим минимальное целое значение \( p = 11 \). При \( p = 11 \) неравенство для \( x \) принимает вид: \[ x^2 - 4(11 - 5)x + 144 \le 0 \] \[ x^2 - 24x + 144 \le 0 \] \[ (x - 12)^2 \le 0 \] Это условие выполняется при \( x = 12 \). Значит, при цене 11 тыс. руб. и объеме производства 12 тыс. единиц завод окупится ровно за 5 лет. Ответ: 11.