Решение квадратных уравнений: Вариант 2

Вариант 2. Решение уравнений. а) \( 3x^2 - 7x + 2 = 0 \) Это полное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Коэффициенты: \( a = 3, b = -7, c = 2 \). Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. \[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \] Находим корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3}; 2 \). б) \( 25x^2 - 81 = 0 \) Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободное число в правую часть: \[ 25x^2 = 81 \] \[ x^2 = \frac{81}{25} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{81}{25}} \] \[ x_1 = 1,8; x_2 = -1,8 \] Ответ: \( -1,8; 1,8 \). в) \( 6x^2 = 18x \) Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ 6x^2 - 18x = 0 \] Вынесем общий множитель \( 6x \) за скобки: \[ 6x(x - 3) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ 6x = 0 \text{ или } x - 3 = 0 \] \[ x_1 = 0; x_2 = 3 \] Ответ: \( 0; 3 \). г) \( (x - 2)^2 - 3(x - 2) - 54 = 0 \) Решим уравнение методом введения новой переменной. Пусть \( x - 2 = t \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 3t - 54 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 \] \[ \sqrt{D} = 15 \] \[ t_1 = \frac{3 + 15}{2} = 9 \] \[ t_2 = \frac{3 - 15}{2} = -6 \] Вернемся к замене: 1) \( x - 2 = 9 \) \[ x_1 = 11 \] 2) \( x - 2 = -6 \) \[ x_2 = -4 \] Ответ: \( -4; 11 \).