Решение задач по стереометрии с оформлением

Ниже представлено решение задач по стереометрии, оформленное для записи в тетрадь. Поскольку задание требует сделать рисунки, я опишу словами, как их следует изобразить, и приведу необходимые математические обоснования. Задача 1. Построение чертежей по описанию 1) Прямые CN и KN лежат в плоскости \(\alpha\), а прямая CM её пересекает. Описание рисунка: Нарисуйте параллелограмм, обозначающий плоскость \(\alpha\). Внутри него проведите две пересекающиеся прямые CN и KN (точка N — их общая точка). Затем проведите прямую CM так, чтобы точка C лежала на плоскости, а точка M находилась вне плоскости. Математическая запись: \[CN \subset \alpha, \quad KN \subset \alpha\] \[CM \cap \alpha = C\] 2) Прямые CN и KN пересекают плоскость \(\alpha\) в одной и той же точке. Описание рисунка: Нарисуйте плоскость \(\alpha\). Отметьте на ней точку N. Проведите через точку N две прямые CN и KN так, чтобы точки C и K находились по одну или по разные стороны от плоскости. Точка N будет единственной общей точкой этих прямых с плоскостью. Математическая запись: \[CN \cap \alpha = N, \quad KN \cap \alpha = N\] 3) Прямые CB и DB пересекают плоскость \(\alpha\) в различных точках. Описание рисунка: Нарисуйте плоскость \(\alpha\). Отметьте на ней две разные точки, например, \(C_1\) и \(D_1\). Выберите точку B вне плоскости. Проведите прямую через B и \(C_1\) (это будет прямая CB) и прямую через B и \(D_1\) (это будет прямая DB). Математическая запись: \[CB \cap \alpha = C_1, \quad DB \cap \alpha = D_1, \quad C_1 \neq D_1\] 4) Плоскость \(\alpha\) проходит через прямую a и точку M, не принадлежащую прямой a, и пересекает прямую b в точке M. Описание рисунка: Нарисуйте плоскость \(\alpha\). Внутри неё проведите прямую a. Отметьте в этой же плоскости точку M, лежащую в стороне от прямой a. Проведите прямую b, которая проходит через точку M и «протыкает» плоскость (уходит вверх и вниз от неё). Математическая запись: \[a \subset \alpha, \quad M \in \alpha, \quad M \notin a\] \[b \cap \alpha = M\] 5) Прямые a и b пересекаются, а прямые a и d скрещивающиеся. Описание рисунка: Нарисуйте две пересекающиеся прямые a и b (они образуют некую невидимую плоскость). Чтобы показать, что прямая d скрещивается с a, проведите прямую d так, чтобы она пересекала прямую b в точке, не лежащей на a, и при этом сама прямая d не была параллельна a и не пересекала её. Математическая запись: \[a \cap b = P\] \[a \cap d = \varnothing, \quad a \nparallel d\]