Решение задач контрольной работы по математике (1 курс, 1 семестр)

Контрольная работа по дисциплине «Математика» (1 курс, 1 семестр) Вариант 1 Задание 1. Вычислить: \( 4\frac{2}{15} : \frac{2}{15} - 1\frac{1}{5} \cdot 3 \) Решение: 1) \( 4\frac{2}{15} : \frac{2}{15} = \frac{62}{15} \cdot \frac{15}{2} = \frac{62}{2} = 31 \) 2) \( 1\frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{6}{5} \cdot 3 = \frac{18}{5} = 3,6 \) 3) \( 31 - 3,6 = 27,4 \) Ответ: 27,4. Задание 2. Решить неравенство методом интервалов: \( 6 - 3(x^2 + x - 1) \le 7 - 4x \) Решение: Раскроем скобки: \( 6 - 3x^2 - 3x + 3 \le 7 - 4x \) \( -3x^2 - 3x + 9 \le 7 - 4x \) Перенесем всё в левую часть: \( -3x^2 - 3x + 4x + 9 - 7 \le 0 \) \( -3x^2 + x + 2 \le 0 \) Умножим на -1 (знак неравенства меняется): \( 3x^2 - x - 2 \ge 0 \) Найдем корни уравнения \( 3x^2 - x - 2 = 0 \): \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \) \( x_1 = \frac{1 + 5}{6} = 1 \) \( x_2 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3} \) Разложим на множители: \( 3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) \ge 0 \). Методом интервалов определяем знаки. Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [1; +\infty) \). Задание 3. Вычислить: \( \sqrt[10]{2^{40}} \cdot 81^5 \cdot 5^{20} \) (Примечание: вероятно, в условии опечатка и имелось в виду выражение под общим корнем или другие степени, решим как записано). Если выражение: \( \sqrt[10]{2^{40} \cdot 81^5 \cdot 5^{20}} \) \( = (2^{40} \cdot (3^4)^5 \cdot 5^{20})^{1/10} = (2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20})^{1/10} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 16 \cdot 9 \cdot 25 = 3600 \) Ответ: 3600. Задание 4. Вычислить: \( 2\log_{\frac{1}{9}} 5 + \log_{\frac{1}{9}} \frac{3}{25} \) Решение: \( \log_{\frac{1}{9}} 5^2 + \log_{\frac{1}{9}} \frac{3}{25} = \log_{\frac{1}{9}} (25 \cdot \frac{3}{25}) = \log_{\frac{1}{9}} 3 \) Так как \( \frac{1}{9} = 3^{-2} \), то: \( \log_{3^{-2}} 3^1 = -\frac{1}{2} \cdot \log_3 3 = -0,5 \) Ответ: -0,5. Задание 5. Решить уравнение: \( (\frac{1}{81})^{x^2 - x - 1} = 9^{x^2 + x} \) Решение: Приведем к основанию 9: \( (9^{-2})^{x^2 - x - 1} = 9^{x^2 + x} \) \( 9^{-2x^2 + 2x + 2} = 9^{x^2 + x} \) Показатели равны: \( -2x^2 + 2x + 2 = x^2 + x \) \( 3x^2 - x - 2 = 0 \) Корни найдены в задаче 2: \( x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{3} \). Ответ: \( -\frac{2}{3}; 1 \). Задание 6. Решить уравнение: \( \log_7(x^2 - 3) = \log_7(-9x - 11) \) Решение: ОДЗ: \( x^2 - 3 > 0 \) и \( -9x - 11 > 0 \Rightarrow x < -1,22 \) \( x^2 - 3 = -9x - 11 \) \( x^2 + 9x + 8 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -1, x_2 = -8 \). Проверка по ОДЗ: \( x = -1 \): \( -9(-1) - 11 = 9 - 11 = -2 < 0 \) (не подходит). \( x = -8 \): \( (-8)^2 - 3 = 61 > 0 \) и \( -9(-8) - 11 = 72 - 11 = 61 > 0 \) (подходит). Ответ: -8. Задание 8. По графику: а) Область определения \( D(f) = [-6; 6] \). Область значений \( E(f) = [-3; 4] \). b) \( f(-4) \approx -2 \); \( f(1) \approx 1 \); \( f(3) \approx 3 \). c) \( f(x) = -2 \) при \( x = -4 \); \( f(x) = 0 \) при \( x = -5, x = 0, x = 5 \). d) Функция положительна \( f(x) > 0 \) на интервалах: \( (-5; 0) \cup (0; 5) \). (Примечание: в точке 0 функция равна 0, если график касается оси). e) Промежутки возрастания: \( [-6; -2] \) и \( [0; 4] \).