Решение Задачи 1, Вариант 2, Математика 1 курс

Контрольная работа по дисциплине «Математика» (1 курс, 1 семестр) Вариант 2 Задание 1. Вычислить: \( (2\frac{1}{16} - \frac{5}{16} : 3\frac{3}{4}) \cdot 3\frac{1}{5} \) Решение: 1) Выполним деление в скобках: \[ \frac{5}{16} : 3\frac{3}{4} = \frac{5}{16} : \frac{15}{4} = \frac{5}{16} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12} \] 2) Выполним вычитание в скобках: \[ 2\frac{1}{16} - \frac{1}{12} = \frac{33}{16} - \frac{1}{12} = \frac{33 \cdot 3 - 1 \cdot 4}{48} = \frac{99 - 4}{48} = \frac{95}{48} \] 3) Выполним умножение: \[ \frac{95}{48} \cdot 3\frac{1}{5} = \frac{95}{48} \cdot \frac{16}{5} = \frac{19 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \] Ответ: \( 6\frac{1}{3} \) Задание 2. Решить неравенство методом интервалов: \( 4x^2 - 5(x - 2) - 12 \ge x^2 \) Решение: Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть: \[ 4x^2 - 5x + 10 - 12 - x^2 \ge 0 \] \[ 3x^2 - 5x - 2 \ge 0 \] Найдем корни уравнения \( 3x^2 - 5x - 2 = 0 \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] \[ x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \] Разложим на множители: \( 3(x + \frac{1}{3})(x - 2) \ge 0 \). Методом интервалов определяем знаки: на \( (-\infty; -1/3] \) — плюс, на \( [-1/3; 2] \) — минус, на \( [2; +\infty) \) — плюс. Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [2; +\infty) \) Задание 3. Вычислить: \( \sqrt[3]{8^3} \cdot 4^6 : 2^9 \) Решение: Приведем всё к основанию 2: \[ \sqrt[3]{8^3} = 8 = 2^3 \] \[ 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} \] Вычисляем: \[ 2^3 \cdot 2^{12} : 2^9 = 2^{3+12-9} = 2^6 = 64 \] Ответ: 64 Задание 4. Вычислить: \( 2\log_3 \frac{4}{3} - \log_3 16 \) Решение: \[ \log_3 (\frac{4}{3})^2 - \log_3 16 = \log_3 \frac{16}{9} - \log_3 16 = \log_3 (\frac{16}{9} : 16) = \log_3 \frac{1}{9} = -2 \] Ответ: -2 Задание 5. Решить уравнение: \( (\frac{1}{27})^{x-1} = 3^{5x^2+1} \) Решение: Приведем к основанию 3: \[ (3^{-3})^{x-1} = 3^{5x^2+1} \] \[ 3^{-3x+3} = 3^{5x^2+1} \] \[ -3x + 3 = 5x^2 + 1 \] \[ 5x^2 + 3x - 2 = 0 \] \[ D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 49 \] \[ x_1 = \frac{-3 - 7}{10} = -1; \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{10} = 0,4 \] Ответ: -1; 0,4 Задание 6. Решить уравнение: \( \log_2(2x - x^2) = \log_2(4 - 3x) \) Решение: ОДЗ: \( 2x - x^2 > 0 \) и \( 4 - 3x > 0 \). Приравниваем аргументы: \[ 2x - x^2 = 4 - 3x \] \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 4 \). Проверка по ОДЗ: Для \( x = 1 \): \( 2(1) - 1^2 = 1 > 0 \) и \( 4 - 3(1) = 1 > 0 \) (подходит). Для \( x = 4 \): \( 4 - 3(4) = -8 < 0 \) (не подходит). Ответ: 1 Задание 7. Построить графики \( y = 2x^2 - 1 \) и \( y = 2x + 3 \). Решение: Найдем точки пересечения: \[ 2x^2 - 1 = 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \] Корни: \( x_1 = -1, x_2 = 2 \). Точка A: \( x = -1, y = 2(-1)+3 = 1 \). Координаты A(-1; 1). Точка B: \( x = 2, y = 2(2)+3 = 7 \). Координаты B(2; 7). Задание 8. По графику: а) Область определения \( D(f): [-6; 6] \). Область значений \( E(f): [-2; 4] \). b) \( f(-2) \approx -1,5 \); \( f(1) = 4 \); \( f(4) = 0 \). c) \( f(x) = 4 \) при \( x = 1 \); \( f(x) = 1 \) при \( x \approx -0,2; 2,5; 4,5 \). d) Функция положительна \( f(x) > 0 \) на интервалах: \( (-0,5; 4) \cup (4,5; 6] \). e) Промежутки возрастания: \( [-3; 1] \) и \( [4; 5,5] \).