Решение задачи о колебаниях стержня с импульсом

Ниже представлено решение первой задачи из вашего варианта, оформленное для переноса в тетрадь. Вариант 3. Задача №1. Условие: Конец стержня \(x = 0\) прикреплен к пружине с модулем упругости \(k\), противоположный конец которой движется по закону \(\mu(t)\). В другой конец (\(x = L\)) в момент времени \(t = 0\) происходит удар, стержень получает импульс \(I\). Поставить задачу о продольных колебаниях, если начальные смещения и скорости равны нулю. Решение: Для постановки задачи необходимо записать дифференциальное уравнение в частных производных, а также начальные и граничные условия. Пусть \(u(x, t)\) — отклонение сечения стержня от положения равновесия. 1. Уравнение продольных колебаний стержня: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \] где \(a = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\) — скорость распространения звука в стержне (\(E\) — модуль Юнга, \(\rho\) — плотность). 2. Граничное условие на левом конце (\(x = 0\)): На левый конец действует сила со стороны пружины. Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Растяжение равно разности между перемещением конца пружины \(\mu(t)\) и смещением конца стержня \(u(0, t)\). Сила со стороны стержня равна \(ES \frac{\partial u}{\partial x}\). \[ ES \frac{\partial u(0, t)}{\partial x} = k [u(0, t) - \mu(t)] \] Или в каноническом виде: \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=0} - h u(0, t) = -h \mu(t), \quad \text{где } h = \frac{k}{ES} \] 3. Граничное условие на правом конце (\(x = L\)): Так как в условии не сказано о закреплении или внешних силах на правом конце после удара, считаем его свободным: \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=L} = 0 \] 4. Начальные условия (\(t = 0\)): По условию начальные смещения равны нулю: \[ u(x, 0) = 0 \] Начальная скорость равна нулю везде, кроме точки удара. Удар на правом конце (\(x = L\)) передает импульс \(I\). Масса малого элемента конца стержня \(\Delta m = \rho S \Delta x\). Изменение импульса \(I = \Delta m \cdot v\). Математически удар в точку описывается через дельта-функцию Дирака \(\delta(x - L)\): \[ \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = \frac{I}{\rho S} \delta(x - L) \] Итоговая математическая постановка задачи: \[ \begin{cases} u_{tt} = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \\ u(x, 0) = 0 \\ u_t(x, 0) = \frac{I}{\rho S} \delta(x - L) \\ u_x(0, t) - h u(0, t) = -h \mu(t) \\ u_x(L, t) = 0 \end{cases} \]