Решение задач: пружинный и математический маятники

Задача №2 Дано: \(m = 0,4\) кг \(N = 30\) \(t = 1\) мин \(= 60\) с Найти: \(k\) — ? Решение: Период колебаний пружинного маятника определяется формулой: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Также период можно найти через время и количество колебаний: \[T = \frac{t}{N}\] Приравняем правые части формул: \[\frac{t}{N} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Возведем обе части в квадрат: \[\frac{t^2}{N^2} = 4\pi^2 \frac{m}{k}\] Выразим жесткость \(k\): \[k = \frac{4\pi^2 m N^2}{t^2}\] Подставим значения (примем \(\pi^2 \approx 10\)): \[k = \frac{4 \cdot 10 \cdot 0,4 \cdot 30^2}{60^2} = \frac{16 \cdot 900}{3600} = \frac{16 \cdot 900}{4 \cdot 900} = 4 \text{ Н/м}\] Ответ: \(k = 4\) Н/м. Задача №3 Дано: \(l = 1\) м \(N = 10\) \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (или \(10\) м/с\(^2\)) Найти: \(\nu\) — ?, \(t\) — ? Решение: Период колебаний нитяного маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\] Частота колебаний \(\nu\) связана с периодом соотношением \(\nu = \frac{1}{T}\): \[\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}\] Подставим значения (примем \(g = 9,8\) м/с\(^2\), \(\pi = 3,14\)): \[\nu = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8}{1}} \approx \frac{1}{6,28} \cdot 3,13 \approx 0,5 \text{ Гц}\] Найдем время \(t\) для \(N = 10\) колебаний. Так как \(T = \frac{t}{N}\), то: \[t = T \cdot N = \frac{1}{\nu} \cdot N\] \[t = \frac{1}{0,5} \cdot 10 = 2 \cdot 10 = 20 \text{ с}\] Ответ: \(\nu \approx 0,5\) Гц; \(t \approx 20\) с.