1 вариант
1. Решите неравенство:
а) \((x - 1)(x - 3) > 0\)
Решение:
Найдем корни уравнения \((x - 1)(x - 3) = 0\). Это \(x = 1\) и \(x = 3\).
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: \((-\infty; 1)\), \((1; 3)\), \((3; +\infty)\).
Проверим знак выражения \((x - 1)(x - 3)\) в каждом интервале:
- Для \(x < 1\), например \(x = 0\): \((0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3 > 0\).
- Для \(1 < x < 3\), например \(x = 2\): \((2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) = -1 < 0\).
- Для \(x > 3\), например \(x = 4\): \((4 - 1)(4 - 3) = (3)(1) = 3 > 0\).
Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это выполняется в интервалах \((-\infty; 1)\) и \((3; +\infty)\).
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\)
б) \((x + 2)(x - 5) < 0\)
Решение:
Найдем корни уравнения \((x + 2)(x - 5) = 0\). Это \(x = -2\) и \(x = 5\).
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: \((-\infty; -2)\), \((-2; 5)\), \((5; +\infty)\).
Проверим знак выражения \((x + 2)(x - 5)\) в каждом интервале:
- Для \(x < -2\), например \(x = -3\): \((-3 + 2)(-3 - 5) = (-1)(-8) = 8 > 0\).
- Для \(-2 < x < 5\), например \(x = 0\): \((0 + 2)(0 - 5) = (2)(-5) = -10 < 0\).
- Для \(x > 5\), например \(x = 6\): \((6 + 2)(6 - 5) = (8)(1) = 8 > 0\).
Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это выполняется в интервале \((-2; 5)\).
Ответ: \((-2; 5)\)
в) \((x + 9)(x + 1)(x - 11) > 0\)
Решение:
Найдем корни уравнения \((x + 9)(x + 1)(x - 11) = 0\). Это \(x = -9\), \(x = -1\) и \(x = 11\).
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: \((-\infty; -9)\), \((-9; -1)\), \((-1; 11)\), \((11; +\infty)\).
Проверим знак выражения \((x + 9)(x + 1)(x - 11)\) в каждом интервале:
- Для \(x < -9\), например \(x = -10\): \((-10 + 9)(-10 + 1)(-10 - 11) = (-1)(-9)(-21) = -189 < 0\).
- Для \(-9 < x < -1\), например \(x = -5\): \((-5 + 9)(-5 + 1)(-5 - 11) = (4)(-4)(-16) = 256 > 0\).
- Для \(-1 < x < 11\), например \(x = 0\): \((0 + 9)(0 + 1)(0 - 11) = (9)(1)(-11) = -99 < 0\).
- Для \(x > 11\), например \(x = 12\): \((12 + 9)(12 + 1)(12 - 11) = (21)(13)(1) = 273 > 0\).
Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это выполняется в интервалах \((-9; -1)\) и \((11; +\infty)\).
Ответ: \((-9; -1) \cup (11; +\infty)\)
г) \(x(x + 8)(x - 17) \le 0\)
Решение:
Найдем корни уравнения \(x(x + 8)(x - 17) = 0\). Это \(x = 0\), \(x = -8\) и \(x = 17\).
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: \((-\infty; -8)\), \((-8; 0)\), \((0; 17)\), \((17; +\infty)\).
Проверим знак выражения \(x(x + 8)(x - 17)\) в каждом интервале:
- Для \(x < -8\), например \(x = -9\): \((-9)(-9 + 8)(-9 - 17) = (-9)(-1)(-26) = -234 < 0\).
- Для \(-8 < x < 0\), например \(x = -1\): \((-1)(-1 + 8)(-1 - 17) = (-1)(7)(-18) = 126 > 0\).
- Для \(0 < x < 17\), например \(x = 1\): \((1)(1 + 8)(1 - 17) = (1)(9)(-16) = -144 < 0\).
- Для \(x > 17\), например \(x = 18\): \((18)(18 + 8)(18 - 17) = (18)(26)(1) = 468 > 0\).
Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Это выполняется в интервалах \((-\infty; -8]\) и \([0; 17]\). Точки \(x = -8\), \(x = 0\), \(x = 17\) включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
Ответ: \((-\infty; -8] \cup [0; 17]\)
2. Решите неравенство:
а) \((x + 3)(x - 8)(x - 20) > 0\)
Решение:
Найдем корни уравнения \((x + 3)(x - 8)(x - 20) = 0\). Это \(x = -3\), \(x = 8\) и \(x = 20\).
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: \((-\infty; -3)\), \((-3; 8)\), \((8; 20)\), \((20; +\infty)\).
Проверим знак выражения \((x + 3)(x - 8)(x - 20)\) в каждом интервале:
- Для \(x < -3\), например \(x = -4\): \((-4 + 3)(-4 - 8)(-4 - 20) = (-1)(-12)(-24) = -288 < 0\).
- Для \(-3 < x < 8\), например \(x = 0\): \((0 + 3)(0 - 8)(0 - 20) = (3)(-8)(-20) = 480 > 0\).
- Для \(8 < x < 20\), например \(x = 10\): \((10 + 3)(10 - 8)(10 - 20) = (13)(2)(-10) = -260 < 0\).
- Для \(x > 20\), например \(x = 21\): \((21 + 3)(21 - 8)(21 - 20) = (24)(13)(1) = 312 > 0\).
Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это выполняется в интервалах \((-3; 8)\) и \((20; +\infty)\).
Ответ: \((-3; 8) \cup (20; +\infty)\)
б) \(x(x + 10)(x - 3) \le 0\)
Решение:
Найдем корни уравнения \(x(x + 10)(x - 3) = 0\). Это \(x = 0\), \(x = -10\) и \(x = 3\).
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: \((-\infty; -10)\), \((-10; 0)\), \((0; 3)\), \((3; +\infty)\).
Проверим знак выражения \(x(x + 10)(x - 3)\) в каждом интервале:
- Для \(x < -10\), например \(x = -11\): \((-11)(-11 + 10)(-11 - 3) = (-11)(-1)(-14) = -154 < 0\).
- Для \(-10 < x < 0\), например \(x = -1\): \((-1)(-1 + 10)(-1 - 3) = (-1)(9)(-4) = 36 > 0\).
- Для \(0 < x < 3\), например \(x = 1\): \((1)(1 + 10)(1 - 3) = (1)(11)(-2) = -22 < 0\).
- Для \(x > 3\), например \(x = 4\): \((4)(4 + 10)(4 - 3) = (4)(14)(1) = 56 > 0\).
Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Это выполняется в интервалах \((-\infty; -10]\) и \([0; 3]\). Точки \(x = -10\), \(x = 0\), \(x = 3\) включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
Ответ: \((-\infty; -10] \cup [0; 3]\)