Решение задачи 1: Продольные колебания стержня (Вариант 3)

Вариант 3 Задача 1 Постановка задачи о продольных колебаниях стержня. Пусть \( u(x, t) \) — смещение сечения стержня с координатой \( x \) в момент времени \( t \). Стержень имеет длину \( l \), модуль Юнга \( E \), плотность \( \rho \) и площадь поперечного сечения \( S \). 1. Уравнение движения (волновое уравнение): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < l, \quad t > 0 \] где \( a = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \) — скорость распространения звука в стержне. 2. Начальные условия (при \( t = 0 \)): По условию начальные смещения равны нулю: \[ u(x, 0) = 0 \] В момент \( t = 0 \) по правому концу (\( x = l \)) наносится удар, передающий импульс \( I \). Это выражается через начальную скорость (используя дельта-функцию Дирака для сосредоточенного удара, либо как граничное условие, но стандартно для задачи "получает импульс" в объеме или на конце): \[ \frac{\partial u}{\partial t} \bigg|_{t=0} = \frac{I}{\rho S} \delta(x - l) \] Если рассматривать импульс как распределенный по стержню (в зависимости от трактовки учебника), но чаще всего при нулевых начальных скоростях удар учитывается в граничном условии. Однако классическая постановка при мгновенном ударе в торец: \[ \frac{\partial u}{\partial t} \bigg|_{t=0} = 0 \quad (\text{для } 0 \le x < l) \] 3. Граничные условия: На левом конце (\( x = 0 \)) стержень прикреплен к пружине. Сила упругости стержня \( ES \frac{\partial u}{\partial x} \) уравновешивается силой пружины \( k(u - \mu(t)) \): \[ ES \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=0} = k(u(0, t) - \mu(t)) \] На правом конце (\( x = l \)) после удара внешних сил нет (свободный край): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=l} = 0 \] Задача 2 Постановка задачи для определения потенциала \( u(x, t) \) и силы тока \( i(x, t) \) в проводе. 1. Основные уравнения (телеграфные уравнения без утечки): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = -L \frac{\partial i}{\partial t} - R i \] \[ \frac{\partial i}{\partial x} = -C \frac{\partial u}{\partial t} \] где \( R, L, C \) — сопротивление, индуктивность и емкость на единицу длины. Для потенциала \( u(x, t) \): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = LC \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + RC \frac{\partial u}{\partial t} \] 2. Начальное условие (стационарный потенциал): \[ u(x, 0) = u_0, \quad i(x, 0) = 0 \] 3. Граничные условия: Левый конец (\( x = 0 \)) заземлен через ЭДС \( E_0 \): \[ u(0, t) = E_0 \] Правый конец (\( x = l \)) заземлен через резистор \( R_0 \). По закону Ома: \[ u(l, t) = R_0 \cdot i(l, t) \] Используя первое уравнение связи: \[ u(l, t) = - \frac{R_0}{R} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + L \frac{\partial i}{\partial t} \right) \bigg|_{x=l} \] Или в более простом виде через ток: \( u|_{x=l} = R_0 i|_{x=l} \). Задача 3 Постановка задачи о диффузии газа в полом стержне переменного сечения. 1. Геометрия: Поверхность \( y^2 = 2p(l_0 + x) \). Площадь сечения \( S(x) = \pi y^2 = 2\pi p(l_0 + x) \). При \( x = 0 \): \( S_0 = 2\pi p l_0 \). 2. Уравнение диффузии в стержне переменного сечения: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{S(x)} \frac{\partial}{\partial x} \left( S(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right) \] Подставляя \( S(x) \): \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{l_0 + x} \frac{\partial}{\partial x} \left( (l_0 + x) \frac{\partial u}{\partial x} \right) \] 3. Начальное условие: До момента \( t = 0 \) подавался поток \( q \), установилось стационарное распределение \( u(x, 0) = \phi(x) \), которое находится из решения уравнения \( \frac{d}{dx} (S(x) \frac{du}{dx}) = 0 \) с условиями \( u(0) = u_0 \) и \( -D S(l) \frac{du}{dx} = q \). 4. Граничные условия (при \( t > 0 \)): На левом конце (\( x = 0 \)) концентрация постоянна: \[ u(0, t) = u_0 \] На правом конце (\( x = l \)) стержень закрывают (поток равен нулю): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=l} = 0 \]