Доказать, что ABCD - ромб и найти его площадь

Дано: \(A(2; 3)\), \(B(6; 5)\), \(C(4; 1)\), \(D(0; -1)\). Доказать: \(ABCD\) — ромб. Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Чтобы доказать, что четырехугольник является ромбом, достаточно показать, что все его стороны равны. Воспользуемся формулой расстояния между точками \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Найдем длины сторон: \[AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\] \[BC = \sqrt{(4 - 6)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\] \[CD = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\] \[DA = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\] Так как \(AB = BC = CD = DA = \sqrt{20}\), то четырехугольник \(ABCD\) — ромб по определению. 2. Найдем площадь ромба. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\). Вычислим длины диагоналей \(AC\) и \(BD\): \[AC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] \[BD = \sqrt{(0 - 6)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\] Вычислим площадь: \[S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 = 12\] Ответ: \(S = 12\).