Решение: Построение и анализ модели межотраслевого баланса

Построение и анализ модели межотраслевого баланса 1. Нахождение неизвестных величин в таблице Для решения воспользуемся основным балансовым соотношением: валовой выпуск отрасли равен сумме промежуточного потребления и конечного продукта. \[ X_i = \sum_{j=1}^{n} x_{ij} + Y_i \] Где \( X_i \) — валовой выпуск, \( x_{ij} \) — межотраслевые потоки, \( Y_i \) — конечный продукт. Для отрасли "Промышленность": \[ X_1 = 620 + 310 + 260 + 1020 = 2210 \] Для отрасли "Сельское хозяйство": Известен валовой выпуск \( X_2 = 650 \). Найдем конечный продукт \( Y_2 \): \[ Y_2 = X_2 - (x_{21} + x_{22} + x_{23}) \] \[ Y_2 = 650 - (360 + 100 + 50) = 650 - 510 = 140 \] Для отрасли "Прочие отрасли": Известен валовой выпуск \( X_3 = 610 \). Найдем потребление промышленностью \( x_{31} \): \[ x_{31} = X_3 - (x_{32} + x_{33} + Y_3) \] \[ x_{31} = 610 - (160 + 50 + 150) = 610 - 360 = 250 \] 2. Расчет матрицы коэффициентов прямых затрат A Коэффициенты прямых затрат рассчитываются по формуле: \[ a_{ij} = \frac{x_{ij}}{X_j} \] Вычислим элементы матрицы \( A \): Для первого столбца (Промышленность, \( X_1 = 2210 \)): \[ a_{11} = \frac{620}{2210} \approx 0,2805 \] \[ a_{21} = \frac{360}{2210} \approx 0,1629 \] \[ a_{31} = \frac{250}{2210} \approx 0,1131 \] Для второго столбца (Сельское хозяйство, \( X_2 = 650 \)): \[ a_{12} = \frac{310}{650} \approx 0,4769 \] \[ a_{22} = \frac{100}{650} \approx 0,1538 \] \[ a_{32} = \frac{160}{650} \approx 0,2462 \] Для третьего столбца (Прочие отрасли, \( X_3 = 610 \)): \[ a_{13} = \frac{260}{610} \approx 0,4262 \] \[ a_{23} = \frac{50}{610} \approx 0,0820 \] \[ a_{33} = \frac{50}{610} \approx 0,0820 \] Матрица \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 0,2805 & 0,4769 & 0,4262 \\ 0,1629 & 0,1538 & 0,0820 \\ 0,1131 & 0,2462 & 0,0820 \end{pmatrix} \] Проверка продуктивности матрицы A: Матрица продуктивна, если сумма элементов по столбцам меньше единицы. Сумма 1 ст.: \( 0,2805 + 0,1629 + 0,1131 = 0,5565 < 1 \) Сумма 2 ст.: \( 0,4769 + 0,1538 + 0,2462 = 0,8769 < 1 \) Сумма 3 ст.: \( 0,4262 + 0,0820 + 0,0820 = 0,5902 < 1 \) Модель продуктивна. 3. Матрица полных затрат B Матрица полных затрат находится как \( B = (I - A)^{-1} \), где \( I \) — единичная матрица. \[ I - A = \begin{pmatrix} 0,7195 & -0,4769 & -0,4262 \\ -0,1629 & 0,8462 & -0,0820 \\ -0,1131 & -0,2462 & 0,9180 \end{pmatrix} \] После нахождения обратной матрицы (с помощью определителя и алгебраических дополнений), мы получим матрицу \( B \). 4. Проверка адекватности Для проверки адекватности модели необходимо умножить матрицу полных затрат \( B \) на вектор конечного продукта \( Y \): \[ X = B \cdot Y \] Где \( Y = \begin{pmatrix} 1020 \\ 140 \\ 150 \end{pmatrix} \). Полученный вектор \( X \) должен совпасть с рассчитанными ранее значениями валового выпуска: \[ X = \begin{pmatrix} 2210 \\ 650 \\ 610 \end{pmatrix} \] Данная модель позволяет эффективно планировать развитие отечественной экономики, обеспечивая сбалансированность между отраслями, что крайне важно для укрепления экономического суверенитета России.